La programación dinámica es un término que probablemente ya se haya utilizado si ha estado en el campo durante un período de tiempo prolongado. El tema surge con frecuencia en las reuniones de revisión de diseño y en las interacciones diarias de los ingenieros, y también es un punto central en las entrevistas técnicas. La estrategia divide y vencerás es un método infalible para lograr cualquier objetivo. En la programación de computadoras, esta misma idea es cierta. Numerosas dificultades tienen subtipos que pueden aislarse y tratarse por separado, lo que permite la resolución final del problema principal. En este artículo, discutiremos el algoritmo de programación dinámica y Python.
¿Qué es la programación dinámica?
La programación dinámica es un método para resolver problemas complejos primero reduciéndolos a otros más simples y luego usando las soluciones a esos problemas más simples como bloques de construcción para resolver el problema original.
Segmentamos el problema en cuestión en partes manejables. En la mayoría de los casos, la única distinción real entre el problema de los padres y los problemas de sus hijos es su tamaño relativo. Por lo tanto, estos miniproblemas se pueden dividir en aún más miniproblemas, y así sucesivamente, indefinidamente. Imagine que un problema y sus diversos subproblemas forman un árbol. Los problemas "hoja" se abordan primero, seguidos de sus problemas "principales", y así sucesivamente en el árbol de problemas. A medida que abordamos dificultades menores, registramos nuestro progreso para su uso posterior. Esto nos permite saltarnos esa parte del problema en el futuro.
Este método es similar a la técnica de divide y vencerás en que divide un problema en problemas más pequeños que pueden resolverse de forma independiente y luego combinarse para obtener la solución final.
¿Cómo funciona la programación dinámica?
La programación dinámica es efectiva porque simplifica problemas difíciles al descomponerlos en partes constituyentes. El siguiente paso es identificar las mejores respuestas a estos desafíos subsiguientes. Los resultados de estos procedimientos se pueden memorizar para que las soluciones correspondientes se puedan recuperar del almacenamiento y utilizar sin más cálculos. Además, la solución se puede guardar para evitar volver a calcular subproblemas resueltos anteriormente.
Existen dos métodos para lograr la programación dinámica:
#1. Enfoque de arriba hacia abajo
En informática, los problemas generalmente se resuelven construyendo soluciones de forma recursiva o utilizando los resultados de los pasos anteriores para abordar el problema en cuestión. Es posible memorizar o llevar una tabla de las soluciones a los subproblemas si son similares. El método de arriba hacia abajo se basa en el aprendizaje de memoria. La memorización es lo mismo que realizar la recursividad y el almacenamiento en caché dos veces. La recursividad implica realizar una llamada indirecta a la función, mientras que el almacenamiento en caché implica realizar un seguimiento de los resultados intermedios.
Entre las muchas ventajas del enfoque de arriba hacia abajo se encuentran:
- El método de arriba hacia abajo es fácil de comprender y aplicar. Para comprender mejor lo que se debe hacer, este método deconstruye los problemas en sus elementos componentes. Cada nuevo desarrollo trae consigo el alivio de un obstáculo previamente insuperable. Algunas de las piezas pueden incluso ser aplicables a otros problemas.
- Permite la solución de subproblemas bajo demanda. El método de arriba hacia abajo permitirá la descomposición de los problemas en fragmentos manejables, y las soluciones de esos fragmentos se almacenarán para su uso posterior. Luego, los clientes pueden pedir ayuda para reparar cada componente.
- La depuración también se simplifica. Dividir un problema en partes más pequeñas hace que sea más fácil seguir la respuesta y ver posibles errores.
Los siguientes son algunos de los inconvenientes de utilizar un enfoque de arriba hacia abajo:
- La estrategia de arriba hacia abajo utiliza el método de recursión, que ocupa más memoria en la pila de llamadas que otros enfoques. Esto finalmente resulta en una disminución en el rendimiento. Además, puede ocurrir un desbordamiento de pila si la recurrencia se remonta demasiado al pasado.
#2. Enfoque de abajo hacia arriba
Una vez que la solución de un problema se ha expresado en términos de sus subproblemas de una manera que se repite a sí misma, los usuarios pueden reescribir el problema utilizando el enfoque de abajo hacia arriba, en el que primero resuelven los subproblemas más pequeños y luego aplican sus soluciones a los más grandes. .
A diferencia del método de arriba hacia abajo, la recursividad se elimina cuando se usa el método de abajo hacia arriba. Por lo tanto, las funciones recursivas no agregan una sobrecarga innecesaria ni hacen que la pila se desborde. Además, permite la compresión de datos. La complejidad temporal de la recursividad se reduce al eliminar la necesidad de volver a calcular los mismos valores.
Algunos beneficios de trabajar desde cero son los siguientes:
- Primero determina cómo se construirá un gran problema a partir de subproblemas más pequeños y reutilizables.
- Al eliminar la recursividad, ayuda a hacer un mejor uso de la memoria disponible. La complejidad del tiempo se reduce como un efecto secundario.
Características de la Programación Dinámica
Hay dos características distintivas de la programación dinámica:
#1. Superposición de subproblemas
Las modificaciones de un problema principal que son más manejables se denominan "subproblemas". La sucesión de Fibonacci, en la que cada número es igual a la suma de los dos anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…). Puede dividir la tarea de encontrar el valor n en la secuencia de Fibonacci en partes más manejables. A medida que encuentra soluciones abordando el mismo subproblema una y otra vez, estos conjuntos de dificultades superpuestas se vuelven cada vez más difíciles de resolver.
La programación dinámica se puede utilizar para dividir grandes trabajos de programación en partes manejables debido a la ocurrencia universal de subproblemas superpuestos.
#2. La subestructura tiene una propiedad óptima
La propiedad de subestructura óptima se manifiesta cuando es posible crear una solución óptima a partir de las soluciones a todos los subproblemas. Para que la recursividad funcione, debe aplicar la respuesta que obtiene de cada superposición al problema completo. La propiedad de subestructura óptima se muestra en todo el problema cuando, como en el caso de la secuencia de Fibonacci, cada subproblema tiene una solución que se puede aplicar al siguiente subproblema de la secuencia para determinar su valor.
Usos de la programación dinámica en el mundo real
Estos son los usos de la programación dinámica.
#1. Problema de mochila
La programación dinámica se ha utilizado ampliamente para resolver el problema de la mochila. Estos son los problemas a los que nos enfrentamos:
El valor ideal para cada subproblema, determinado por la cantidad de artículos en cuestión y la cantidad de espacio que queda en la mochila, se puede almacenar en una matriz bidimensional, lo que resuelve rápidamente este problema. Podemos maximizar el valor al incluir o excluir el elemento actual en cada etapa. La respuesta se puede encontrar en la esquina inferior derecha de la matriz.
El problema de la mochila se puede utilizar en una amplia variedad de contextos, desde empacar equipaje hasta tomar decisiones de inversión y asignar recursos.
#2. Ruta más corta de todos los pares
El problema de la ruta más corta en un gráfico ponderado es otro uso típico de la programación dinámica. Usando técnicas como Floyd-Warshall o Bellman-Ford, podemos encontrar el camino más corto entre dos pares de nodos.
Para realizar un seguimiento de la ruta más corta entre dos nodos dados, estos algoritmos emplean una matriz tridimensional. Además, para llevar un registro de la distancia a la que se encuentran del punto de partida, comparan el resultado con la distancia entre el punto de partida y el nodo intermedio en cada etapa. Después de todo, las iteraciones están completas, la solución final será la matriz de distancia.
Hay varios usos para resolver el problema de la ruta más corta de todos los pares, como en el análisis de redes, enrutamiento, navegación, análisis de redes sociales, etc.
#3. Talla de costura
En el campo del procesamiento de imágenes, el tallado de costuras es una aplicación intrigante de la programación dinámica. Se trata de reducir el tamaño de una imagen sin alterar ninguna de sus características esenciales. Las rutas de baja energía en una imagen, conocidas como costuras, se pueden usar para restar o agregar píxeles para lograr este efecto.
Usando la programación dinámica, podemos calcular la energía acumulada de cada píxel en la imagen en función de su gradiente y vecinos, y luego utilizar esa información para determinar qué costuras deben eliminarse o agregarse. Luego, trabajando desde la parte inferior de la imagen, podemos ubicar la veta con la menor cantidad de energía potencial. Este método se puede utilizar de nuevo hasta que se logre el tamaño requerido.
Además, las imágenes se pueden cambiar de tamaño, recortar, reorientar y más con la ayuda de la talla de costura.
#4. Aprendizaje automático y genómica
Los desafíos del aprendizaje automático y la genómica, como la alineación de secuencias, los modelos ocultos de Markov y los árboles filogenéticos, se prestan a las capacidades de resolución de problemas de la programación dinámica.
La alineación de múltiples secuencias de símbolos (a menudo ADN o proteínas) para descubrir puntos en común se denomina alineación de secuencias. Esto puede arrojar luz sobre sus vínculos evolutivos, funciones en la sociedad o características estructurales. Las alineaciones óptimas se pueden encontrar a través de la programación dinámica mediante la asignación de puntuaciones a coincidencias y desajustes entre secuencias.
Los modelos probabilísticos conocidos como modelos ocultos de Markov se utilizan para describir datos de series temporales que están condicionados a estados desconocidos. Son útiles para modelar fenómenos difíciles como el reconocimiento de voz, NLP, bioinformática, etc. Cuando se les da un conjunto de observaciones, las técnicas de programación dinámica como Viterbi y Forward-Backward pueden determinar la secuencia más probable de estados ocultos.
Los árboles filogenéticos muestran las conexiones entre especies o genes a lo largo del tiempo. Es posible inferir ancestros comunes, fechas de divergencia y eventos evolutivos a partir de estos puntos en común. Además, se puede usar un algoritmo de programación dinámica como Fitch y Sankoff para generar árboles filogenéticos óptimos usando datos de secuenciación.
#5. Criptografía
La criptografía, el estudio de la comunicación secreta, también se beneficia de las capacidades de resolución de problemas de la programación dinámica. El cifrado, el descifrado, las firmas digitales, la autenticación y otros procesos similares forman parte de la criptografía.
El cifrado convierte la información de legible por humanos a legible por clave secreta. El descifrado es el proceso de convertir datos cifrados nuevamente en texto sin formato utilizando la clave original o una nueva. Las firmas digitales permiten verificar la autenticidad e integridad de un mensaje o documento. Verificar las credenciales del remitente o del destinatario puede verificar la identidad del remitente o del destinatario.
Con la programación dinámica se pueden implementar diferentes tipos de criptografía, incluida la criptografía de clave dinámica, la criptografía basada en código y la criptografía basada en programación dinámica.
La criptografía de clave dinámica es un mecanismo para cifrar y descifrar mensajes con claves que cambian constantemente. Las claves que son "dinámicas" son las que evolucionan con el tiempo o en respuesta a otros factores. Esto las hace más seguras que las claves estáticas, que son vulnerables a los ataques. Es posible utilizar la programación dinámica para generar y mantener las claves actualizadas al implementar la criptografía de claves dinámicas.
Usando una técnica conocida como criptografía basada en código, es posible cifrar y descifrar mensajes empleando códigos de corrección de errores en el proceso de hacerlo. Es posible reparar fallas de transmisión con códigos de corrección de errores. El uso de la criptografía basada en código se considera ampliamente resistente a la cuántica, ya que es seguro contra los ataques de las computadoras cuánticas. La programación dinámica se puede utilizar para cifrar y descifrar comunicaciones mediante un sistema criptográfico basado en código.
Como método para cifrar y descifrar datos, la criptografía basada en programación dinámica se basa en un algoritmo de programación dinámica. Para abordar los desafíos de optimización, las técnicas de programación dinámica suelen dividir el problema en un conjunto de subproblemas más simples. La criptografía de programación dinámica utiliza mochila, ruta más corta y talla de costura.
¿Qué es un ejemplo del mundo real de programación dinámica?
Numerosas instancias de aplicaciones de software del mundo real utilizan programación dinámica para mantener la agilidad y la eficiencia al tiempo que reducen su huella de recursos en el sistema host. Algunos casos son los siguientes:
- Mapas de Google. Google Maps utiliza programación dinámica para encontrar la ruta más rápida desde un origen dado a varios destinos diferentes.
- Redes. Transferencia secuencial de datos de un solo remitente a múltiples destinatarios.
- Correctores ortográficos. El algoritmo de distancia de edición determina el número de pasos necesarios para transformar una palabra en otra y proporciona una medida cuantitativa del grado de diferencia entre las dos palabras.
- Software de plagio. Los métodos de distancia del documento ayudan a determinar la similitud del documento de texto.
- Los motores de búsqueda. Para determinar qué tan similares son realmente dos piezas de contenido de Internet.
¿Cómo resolver problemas de programación dinámica?
Aprender la fórmula para resolver problemas de programación dinámica es el siguiente paso después de comprender el concepto de programación dinámica. Aquí hay algunas sugerencias sobre cómo aplicar la programación dinámica al problema en cuestión y llegar a una solución viable:
#1. Reconocer el problema de programación dinámica
La parte más importante es darse cuenta de que un algoritmo de programación dinámica puede resolver el enunciado del problema especificado. Resolver este problema requiere primero determinar si cada uno de los enunciados del problema se puede dividir en partes más pequeñas como una función.
#2. Determinar las causas del problema
Si ya llegó a la conclusión de que la programación dinámica es la herramienta adecuada para el trabajo, el siguiente paso es identificar la estructura recursiva del problema entre sus subproblemas constituyentes. En este caso, debe tener en cuenta la naturaleza fluida de las condiciones del problema. Esta variable podría ser la posición de una matriz o la velocidad de resolución de problemas.
Además, contar las partes constituyentes del problema es crucial.
#3. Elija entre un método iterativo y recursivo
Para solucionar problemas de programación dinámica, puede utilizar enfoques iterativos o recursivos. Por lo que se ha dicho hasta ahora, es seguro decir que el método recursivo es preferible. Sin embargo, todas las consideraciones antes mencionadas se sostienen por sí solas, independientemente del método elegido para resolver el problema.
Tanto el enfoque recursivo como el iterativo necesitan que especifique la relación de recurrencia y el caso base del problema.
#4. Incorporar un Sistema de Memorización
Al abordar un problema con una estructura similar, puede ser útil recordar la experiencia pasada en el manejo de subproblemas comparables. Como resultado de esto, la complejidad temporal del problema disminuirá. La complejidad temporal de una tarea puede crecer exponencialmente si seguimos resolviendo los mismos subproblemas una y otra vez sin utilizar la memorización.
#5. Ponga la relación de recurrencia en palabras
Al resolver un problema, muchos programadores se saltan la definición de la relación de recurrencia y saltan directamente a la codificación. Tendrá una mejor comprensión del problema y podrá codificarlo más rápidamente si puede expresar la relación de recurrencia explícitamente antes de comenzar.
Programación dinámica de algoritmos
La mayoría de las aplicaciones de programación dinámica incluyen el algoritmo recursivo. El uso de programación dinámica para la optimización implica que la recursividad es intrínseca a la mayoría de los problemas de optimización.
Sin embargo, no es posible resolver problemas totalmente recursivos con programación dinámica. Una recursividad solo puede encontrar la solución mediante una estrategia de divide y vencerás a menos que exista la presencia de subproblemas superpuestos, como en el problema de la secuencia de Fibonacci.
Esto se debe a que los subproblemas subyacentes en un algoritmo recursivo como Merge Sort no se superponen, lo que descarta el uso de la programación dinámica.
Diferentes tipos de algoritmos de programación dinámica
Estos son los diferentes tipos de algoritmos de programación dinámica.
#1. Subsecuencia común más larga
Es posible que los elementos de la subsecuencia común más larga (LCS) aparezcan en cualquier orden dentro de las secuencias originales; el LCS se define como la subsecuencia más larga que es común a todas las secuencias especificadas.
Si se proporcionan dos secuencias S1 y S2, entonces una secuencia Z que es una subsecuencia tanto de S1 como de S2 se denomina su subsecuencia común. Como requisito adicional, Z debe consistir en una secuencia estrictamente ascendente de los índices de los conjuntos S1 y S2.
Los índices de los elementos seleccionados en Z deben aumentar estrictamente para formar una secuencia ascendente.
#2. Algoritmo de Floyd-Warshall
Encontrar el camino más corto entre cada par de vértices en un gráfico ponderado es el objetivo del Algoritmo de Floyd-Warshall. Este método procesa gráficos con pesos en ambas direcciones. En cambio, falla para ciclos en los que la suma de sus aristas es negativa.
El algoritmo de Floyd, el algoritmo de Roy-Floyd, el algoritmo de Roy-Warhshall y el algoritmo WFI son todos nombres para el algoritmo de Floyd-Warhshall.
Este algoritmo utiliza una técnica de programación dinámica para localizar atajos óptimos.
¿Cómo un algoritmo de programación dinámica resuelve problemas Lcs más rápido que una técnica recursiva?
La programación dinámica reduce la sobrecarga de llamar a una función. Recuerda el resultado de cada llamada de función para que las llamadas posteriores puedan hacer uso de los datos almacenados sin repetir el mismo trabajo.
Cada vez que se compara un elemento de X con un elemento de Y, los resultados se escriben en una tabla para que puedan ser utilizados en cálculos posteriores en el mencionado proceso dinámico.
Por lo tanto, el tiempo de ejecución de un método dinámico es el mismo que el tiempo necesario para llenar la tabla (O(mn)). Por el contrario, la complejidad del algoritmo recursivo es 2max(m, n). Además, lee Cómo elegir el tipo correcto de algoritmo de cifrado para las necesidades de su empresa
¿Cuáles son los problemas de programación dinámica en Python?
Utilizando la programación dinámica, se puede determinar la solución más adecuada para cualquier cantidad de enunciados de problemas diferentes. A continuación, repasaremos algunas de las declaraciones de problemas más solicitadas y brindaremos una breve explicación junto con el código de Python apropiado.
#1. Mochila (0-1) Acotado
En esta situación, se le dan los precios y pesos de N productos y se le asigna la tarea de colocarlos en una mochila de capacidad W; el objetivo es minimizar la cantidad de artículos elegidos sin dejar de acomodar todo en la mochila.
La mayoría de las entrevistas técnicas para organizaciones de bienes requerirán que los candidatos resuelvan el problema de la mochila, que es un ejemplo clásico de una técnica de programación dinámica.
Planteamiento del problema Suponga que tiene una bolsa con capacidad W y una lista de cosas, cada una de las cuales tiene un peso y una ganancia correspondiente. El objetivo es maximizar las ganancias mediante un mal llenado eficaz.
La respuesta es hacer una tabla con columnas para cada peso concebible entre 1 y W y filas para los pesos que realmente seleccione. Esta tabla se conocerá como dp[][]. Si 'j' es la capacidad de la mochila y se incluyen los primeros elementos 'i' en la matriz peso/artículo, entonces el estado/celda dp[i][j] en la tabla indica la mayor ganancia posible.
Como resultado, el valor en la celda final significará la solución. Es importante empacar solo lo que no exceda la restricción de peso de la mochila. Existen dos alternativas al criterio “peso>peso[i-1]” donde se pueden llenar todas las columnas.
#2. 0/1 Memoización limitada de mochila
Llene una bolsa con artículos de peso y beneficio conocidos, tamaño K. Su objetivo es maximizar sus ganancias. Aquí, usaremos memorización en lugar de tabulación para ver si podemos resolver el problema.
El problema de la mochila 0/1 anterior empleó una estrategia de abajo hacia arriba para descubrir una solución, mientras que este problema utiliza un enfoque de arriba hacia abajo basado en la memorización para obtener una solución.
La programación dinámica utiliza la memorización para reducir la necesidad de resolver las mismas partes del problema varias veces. Esto elimina la necesidad de resolver constantemente el subproblema y agiliza el proceso de generación de resultados.
Planteamiento del problema Suponga que tiene una bolsa con capacidad W y una lista de cosas, cada una de las cuales tiene un peso y una ganancia correspondiente. Si la bolsa está llena con tanta eficiencia como sea posible, se puede obtener el mayor nivel potencial de ganancias.
La solución es construir primero una matriz bidimensional para contener las respuestas finales a los subproblemas individuales. Las columnas de la tabla enumerarán todos los pesos potenciales entre 1 y W, dividiéndolos en tantas secciones, y las filas mostrarán los pesos que seleccione en cada momento dado.
Usamos una matriz dp para realizar un seguimiento de cada subproblema resuelto. En lugar de resolver un subproblema previamente resuelto, simplemente devolvemos su respuesta.
#3. Problema de subconjuntos iguales
Encuentre una partición del conjunto dado tal que el total de elementos en ambos subconjuntos sea el mismo usando programación dinámica para resolver el problema de subconjuntos iguales. Además de sus otros nombres, el problema de subconjuntos iguales (o problema de partición) es una excelente ilustración del poder de la programación dinámica.
La tarea en cuestión requiere que dividamos el arreglo arr por la mitad para que cada uno de los subconjuntos resultantes tenga el mismo tamaño total.
Como solución, necesitamos construir una matriz bidimensional con dimensiones de (suma/2+1)*(objetivo+1). Aquí, los resultados de dividir la matriz original se pueden almacenar para cada subconjunto y cada suma, y luego se pueden recuperar. La primera dimensión de la matriz representará los diversos subconjuntos que se pueden crear, mientras que la segunda dimensión de la matriz representará las diversas sumas que se pueden calcular mediante la combinación de subconjuntos.
Ventajas de la Programación Dinámica
Estas son algunas de las ventajas de la programación dinámica.
#1. Remedio efectivo
La programación dinámica es una herramienta poderosa para encontrar soluciones óptimas a problemas con una subestructura óptima y subproblemas superpuestos. Al descomponerlos en piezas manejables, estos desafíos son más fáciles de abordar con el método. La Programación Dinámica es capaz de crear una solución óptima evitando cálculos repetitivos y reutilizando respuestas a subproblemas.
#2. Facilita la búsqueda fácil de problemas
Resolver un problema difícil puede ser más fácil descomponiéndolo primero en partes más simples. Hace que los problemas complejos sean más fáciles de abordar dividiéndolos en partes más manejables. Este método simplifica la solución y hace que el problema sea más accesible.
#3. Eficiente
Al eliminar los cálculos innecesarios y reciclar los subproblemas resueltos previamente, la programación dinámica puede reducir significativamente el tiempo necesario para resolver un problema. Cuando los subproblemas se superponen, el método puede ayudar al reducir el número total de medidas necesarias para resolver el problema.
#4. Efectivo cuando un problema tiene múltiples soluciones
La programación dinámica puede ayudar a determinar cuál de varias explicaciones posibles es más probable que sea el caso. Cuando hay varias opciones viables para solucionar un problema, este método puede ayudarnos a concentrarnos en la mejor.
¿Cuáles son los inconvenientes de la programación dinámica?
Estas son algunas de las desventajas de la programación dinámica.
#1. Subproblemas que siguen repitiéndose
La programación dinámica funciona mejor cuando el problema tiene subproblemas superpuestos, lo que puede no ser siempre el caso. No va a funcionar, y probablemente no le proporcione la mejor solución, si los problemas individuales no se cruzan.
#2. Complicidad en el tiempo y el espacio
Si el problema es grande, la programación dinámica puede requerir mucha memoria y espacio de almacenamiento, lo que aumenta la complejidad de tiempo y espacio de la solución. Usando la memoria, el enfoque almacena los resultados intermedios en una tabla o una tabla de memorización.
#3. Marco para el problema
Aunque es eficaz para ciertas estructuras de problemas, la programación dinámica no siempre es la mejor opción. Este método funciona mejor cuando el problema tiene subproblemas superpuestos, por lo que puede no ser aplicable a otras situaciones.
#4. Difícil de poner en práctica
La programación dinámica necesita un conocimiento profundo de los algoritmos y las estructuras de datos, lo que dificulta su implementación para los principiantes. El método requiere una reflexión previa y una profunda familiaridad con el tema en cuestión.
Resumen Final
En conclusión, la Programación Dinámica es un método efectivo para encontrar respuestas, aunque son preferibles otros enfoques. Es crucial conocer los pros y los contras y elegir el método correcto de acuerdo con el problema en cuestión. Para problemas con subestructura óptima y subproblemas superpuestos, la Programación Dinámica puede generar una solución óptima; sin embargo, este método puede no ser siempre aplicable.
Aunque es difícil de desarrollar y utiliza mucha memoria, su capacidad para agilizar el proceso de resolución de problemas y acortar los tiempos de cálculo lo convierte en un recurso importante para los informáticos y matemáticos.
Preguntas frecuentes sobre programación dinámica
¿Cuál es la diferencia entre la programación lineal y la programación dinámica?
Para problemas de optimización lineal tenemos el algoritmo de programación lineal (LP), y para problemas genéricos de optimización no lineal con restricciones no convexas tenemos la programación dinámica (DP), que garantiza la optimalidad global de una solución.
¿Qué tan difícil es aprender programación dinámica?
Es de conocimiento común que la programación dinámica es un tema complejo, especialmente para los recién llegados al campo de la informática. Sin embargo, uno puede aprender la programación dinámica con facilidad con una comprensión firme de los principios fundamentales y una amplia práctica.
¿Es muy difícil la programación dinámica?
¡Son difíciles! Para empezar, la idea de los métodos de programación dinámica puede ser difícil de comprender. Cualquier programador experto daría fe de que el dominio de DP requiere un compromiso de tiempo significativo. También es necesaria la habilidad de descomponer un problema en sus partes constituyentes y volver a ensamblarlo en un todo manejable.
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Referencia
