Двійкове додавання виконується додаванням цифр, починаючи з правого боку чисел, так само, як додаються два або більше цілих чисел з основою 10. Розрядні значення в двійковому додаванні подаються як одиниці, двійки, четвірки, вісімки, шістнадцятки тощо. Ми починаємо з додавання цифр у стовпчику одиниць, потім переходимо ліворуч, додаємо цифри у стовпчику двійок, потім цифри у стовпчику четвірок і так далі. Єдина відмінність полягає в тому, що ми перегруповуємо тут, коли сума цифр перевищує 1. Давайте дізнаємося більше про правила двійкового додавання, а також про концепцію переповнення в цій статті.
Що таке двійкове додавання?
За винятком того, що це система з основою 2, операція двійкового додавання функціонує ідентично десятковій системі з основою 10. Двійкова система має лише дві цифри, 1 і 0. Вона використовується для більшості функцій комп’ютерної системи. Двійковий код використовує цифри 1 і 0 для вмикання та вимкнення певних процесів. При переході до основи 2 процес додавання надзвичайно схожий на десяткову систему.
Перш ніж почати процедуру двійкового додавання, ми спочатку розуміємо, як розряд працює в двійковій системі числення. Оскільки двійкова операція виконується більшістю сучасних цифрових комп’ютерів і електронних схем, виражаючи кожен біт як сигнал напруги. Біт 0 позначає стан «ВИМКНЕНО», тоді як біт 1 позначає стан «УВІМКНЕНО».
Однією з арифметичних операцій над двійковими числами або системами числення з основою 2 є додавання двох або більше двійкових чисел. Коли ми додаємо 3 + 2 у десятковому додаванні, ми отримуємо 5. Так само, додаючи їх двійкові еквіваленти (11)2 і (10)2, виходить (11)2 + (10)2 = (101)2, що дорівнює 5 в базі-10. Результати двійкового та десяткового додавання дають однакову відповідь; різниця лише в розрядних значеннях цифр. Процедура двійкового додавання здасться вам досить знайомою; єдина відмінність полягає в тому, що в десятковій системі числення, як тільки ми досягаємо суми цифр більше 9, ми перегруповуємо наступне розрядне значення, оскільки десяткова система використовує десять цифр від 0 до 9. Однак, об’єднуючи двійкові числа, ми перегруповуємо наступне розрядне значення, коли сума цифр перевищує 1, оскільки двійкова система числення допускає лише дві цифри, 0 і 1.
Правила двійкового додавання
Двійкове додавання набагато легше, ніж десяткове, якщо ви пам’ятаєте наступні прийоми чи правила. Використовуючи ці правила, можна легко додати будь-яке двійкове число. Чотири правила двійкового додавання:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Як виконати двійкове додавання?
Двійкові числа, які використовують цифри 0 і 1, використовуються в комп’ютерах для зберігання та представлення даних. Під час вивчення двійкового додавання виникають два випадки, і вони такі:
- Двійкове додавання без перегрупування
- Бінарне додавання з перегрупуванням
Додавання двійкових значень без перегрупування
Коли сума двох цифр дорівнює 0 або 1, нам не потрібно перегруповувати під час додавання двох чи більше двійкових значень. Додамо (101)2 і (10)2, які є двійковими еквівалентами 5 і 2 відповідно.
Крок 1: Запишіть усі цифри обох чисел в окремі колонки відповідно до їх розрядних значень.
1 0 1
+ 1 0
----
----
Крок 2: Почніть із цифр крайнього правого стовпця, 1 і 0. Застосуйте одне з правил двійкового додавання, яке говорить: 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
Крок 3: Перехід до наступного стовпця ліворуч. Тут ми маємо дві цифри 0 і 1. Подивіться на правила, наведені вище, і дізнайтеся, яке правило тут буде застосовано. Застосуйте одне з правил двійкового додавання, яке говорить: 0 + 1 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
Крок 4: Тепер в останньому стовпчику залишилося лише 1, тому ми можемо застосувати правило 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
Тому, додавши (101)2 до (10)2, ми отримаємо (111)2 як остаточну відповідь.
Двійкове додавання з перегрупуванням
Якщо сума двох або більше двійкових цифр дає більше 0 або 1, потрібне перегрупування. Щоб краще це зрозуміти, давайте додамо двійкові цілі числа (1001)2 і (111)2.
Крок 1. Запишіть усі цифри обох двійкових чисел в окремій колонці відповідно до їхніх розрядних значень, як показано нижче
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Крок 2. Починаючи з крайнього правого стовпця, додайте 1 і 1. Дотримуйтеся правил додавання в двійковій системі, згідно з якими 1 + 1 = 10. Це еквівалентно 2₁₀. Отже, ми напишемо 0 внизу, а два візьмемо 1 як перехід до наступного значення розряду.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Крок 3: перейдіть до наступного стовпця ліворуч. Дотримуйтеся правил двійкового додавання, яке говорить: 1 + 0 + 1 = 10. Це знову еквівалентно 2₁₀. Отже, ми напишемо 0 внизу, а два візьмемо 1 як перехід до наступного значення розряду.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0
Крок 4: знову перейдіть до наступного стовпця ліворуч. Дотримуйтеся правил двійкового додавання, яке говорить: 1 + 1 + 0 = 10. Це знову еквівалентно 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Крок 5: знову перейдіть до наступного стовпця ліворуч. Дотримуйтеся правил двійкового додавання, яке говорить: 1 + 1 + 0 = 10. Це знову еквівалентно 2₁₀. Оскільки це останній лівий стовпець, ми не будемо приймати 1 як перехід, замість цього ми напишемо 10 як результат внизу.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
…………….
1 0 0 0 0
…………….
Тому \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Таблиця двійкового додавання
Таблиця додавання двох двійкових чисел 0 і 1 наведена нижче:
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (де 1 переноситься) |
Ви можете бачити з цієї таблиці, що x і y є двома двійковими числами. Отже, коли ми надаємо вхідні дані для x = 0 і y = 0, тоді вихід дорівнює 0. Коли x = 0 або 1 і y = 1 або 0, тоді x+y = 1. Але коли і x, і y є дорівнює 1, то їх додавання дорівнює 0, але перенесене число дорівнюватиме 1, що в основному означає 1 + 1 = 10 у двійковому додаванні, де 1 переноситься на наступну цифру.
Приклади двійкового додавання
Нижче наведено кілька прикладів двійкового додавання:
Приклад 1: 10001 + 11101
Рішення:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Приклад 2: 10111 + 110001
Рішення:
1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Двійкове додавання з використанням доповнення до 1
- Номер 0 представляє позитивний знак
- Номер 1 представляє негативний знак
Додавання додатного і від’ємного чисел
Випадок 1: коли додатне число має більшу величину
Візьміть доповнення до 1 від’ємного числа та додайте перенесення до результуючої суми на місці 1. Коли ви додаєте перенос із результатом, ви отримаєте сумарне значення.
приклад:
+ 1111 і -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (з доповненням до 1)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
Отже, розв’язок дорівнює + 0010.
- Випадок 2: коли від’ємне число має більшу величину
Візьміть доповнення до 1 від’ємного числа, і в цьому випадку не буде переносу кінця. Нарешті, сума отримується шляхом доповнення 1 до результату.
приклад:
+ 1111 і -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (з доповненням до 1)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (з доповненням до 1)
Додавання двох від’ємних чисел
Візьміть доповнення до 1 обох від’ємних чисел і додайте. З’явиться кінець навколо перенесення, і він створить число 1 у знаковому біті. Значення суми можна отримати, взявши доповнення до 1 результуючого.
приклад:
- -1010 і – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (з доповненням до 1)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (з доповненням до 1)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (з доповненням до 1)
Тому розв’язок – 1101
Переповнення в двійковому додаванні
Переповнення у двійковому додаванні часто виглядає як останнє покоління переносу. З іншого боку, переповнення призводить до неточної суми, тоді як перенесення – ні. Якщо не правильно зрозуміти, це може викликати здивування. Отже, давайте чітко розберемося з поняттям переповнення.
Припустімо, що у вас наполовину повна чашка чаю. У вашого знайомого є ємність з чаєм. Він хоче знати, скільки чаю ви і він загалом. В результаті він наливає свій чай у вашу чашку. Однак загальний об’єм чаю перевищує розмір чашки. Коли ваш друг налив свій чай у вашу чашку, напій почав розливатися. Тут важливо пам’ятати, що якщо ви наллєте більше, ніж місткість контейнера, він переповниться. Це аналогічно ідеї переповнення у двійковому додаванні.
Візьмемо приклад, щоб це зрозуміти.
Пояснення переповнення
У попередньому прикладі ми виконуємо додавання 120 + 62. Відповідь має бути 182, як показано на схемі вище. З іншого боку, двійкове додавання не дало правильної суми. Тепер, незважаючи на те, що ми дотримувалися основних законів двійкової арифметики, давайте з’ясуємо, де все пішло не так.
Ми використали 8-бітне представлення чисел із доповненням до двох. Кожне число (2, 120) можна виразити за допомогою 62 розрядів величини, при цьому один біт залишається для знака ('7' для обох). Однак величина результату (0 => 182) вимагає 10110110 біт. Оскільки це 8-бітне кодування з доповненням до 2, знаковий біт є 8-м бітом від загальної кількості. Оскільки знаковий біт у підсумку дорівнює «8», це від’ємне число. Крім того, розмір суми є неточним. Розрахована загальна сума тепер становить -1, тоді як фактичний результат становить 74. Що спричинило це?
Це сталося через те, що 182 знаходиться за межами діапазону чисел зі знаком, які можуть бути представлені 8 двійковими бітами. Згенерована сума, 182, вимагає 9 бітів, щоб бути точно представленою у форматі доповнення 2. Коли ми починаємо з двох n-бітних значень і сума займає n+1 біт, ми отримуємо переповнення. У комп’ютерах переповнення є проблемою, оскільки кількість бітів, які містять число, є кінцевою, і результат, який перевищує кінцеве значення на одиницю, не може бути оброблений.
Переповнення проти остаточного виконання
З філософської точки зору перелив і винесення є синонімами. Обидва означають, що рішення не вписується у відведену область. Коли виконується старший біт, генерується перенесення. Коли відбувається перенесення в старший біт, відбувається переповнення.
Це можна побачити на прикладі арифметики беззнакового числа. Однак сума не змінюється під час генерації виконання. Прапор переносу піднято. Вміст реєстру, що містить результат, разом із переносом дає правильну суму.
Переповнення відбувається в ситуації арифметики знакового числа. Сума, однак, стає пошкодженою в результаті утворення переливу. Встановлюється прапор переповнення, який вказує на неправильний результат.
На закінчення
Двійкове додавання є однією з основних операцій двійкових систем. Як ми вже знаємо, термін «двійкова операція» відноситься до фундаментальних математичних операцій, які виконуються над двома операндами. Двійкове додавання виконується додаванням цифр, починаючи з правого боку чисел, так само, як додаються два або більше цілих чисел з основою 10.
Статті по темі
- БІНАРНИЙ ТРЕЙДИНГ: як це працює
- Системи управління знаннями: детальний посібник
- 15+ НАЙКРАЩИХ НОМЕРОВ ТЕЛЕФОНУ для бізнесу в 2023 році
- АМОРТИЗАЦІЯ: визначення, як її розрахувати та причини.
- Електронний маркетинг: повний посібник (оновлений)
посилання
