İkili toplama, iki veya daha fazla 10 tabanlı tam sayının toplanması gibi, sayıların sağından başlayarak rakamların toplanmasıyla yapılır. İkili toplamada basamak değerleri birler, ikiler, dörtler, sekizler, onaltılar vb. şeklinde verilir. Birler sütunundaki rakamları toplayarak başlıyoruz, sonra sola giderek ikiler sütunundaki rakamları, sonra dörtler sütunundaki rakamları toplayarak başlıyoruz ve böyle devam ediyoruz. Tek fark, basamakların toplamı 1'i geçtiğinde burada yeniden toplanmamızdır. Bu makalede, taşma kavramının yanı sıra ikili toplamaya rehberlik eden kurallar hakkında daha fazla bilgi edinelim.
İkili Toplama Nedir?
2 tabanlı bir sistem olması dışında, ikili toplama işlemi 10 tabanlı ondalık sistemle aynı şekilde çalışır. İkili sistemde yalnızca iki basamak vardır, 1 ve 0. Bilgisayar sistemi işlevlerinin çoğu için kullanılır. İkili kod, belirli işlemleri açıp kapatmak için 1 ve 0 rakamlarını kullanır. 2 tabanına geçerek, toplama işlemi ondalık sisteme son derece benzer.
İkili toplama işlemine başlamadan önce, ikili sayı sisteminde yerin nasıl çalıştığını anlıyoruz. Çünkü ikili işlem, çoğu mevcut dijital bilgisayar ve elektronik devre tarafından her bir biti bir voltaj sinyali olarak ifade ederek gerçekleştirilir. Bit 0, "KAPALI" durumunu belirtirken, bit 1, "AÇIK" durumunu belirtir.
İkili sayılar veya 2 tabanlı sayı sistemleri üzerindeki aritmetik işlemlerden biri, iki veya daha fazla ikili sayı toplamaktır. Ondalık toplamada 3 + 2'yi topladığımızda 5 elde ederiz. Benzer şekilde ikili eşdeğerleri olan (11)2 ve (10)2'yi topladığımızda (11)2 + (10)2 = (101)2, yani 5 olur. 10 tabanında. İkili ve ondalık toplamanın sonuçları aynı yanıtı verir; tek fark rakamların basamak değerlerindedir. İkili toplama prosedürü size oldukça tanıdık gelecektir; tek fark, ondalık sayı sisteminde 9'dan büyük rakamların toplamına ulaştığımızda, ondalık sistem 0'dan 9'a kadar on basamak kullandığından bir sonraki basamak değerini yeniden gruplandırıyoruz. Ancak ikili sayıları birleştirirken yeniden gruplandırıyoruz. basamakların toplamı 1'i aştığında bir sonraki basamak değeri, çünkü ikili sayı sistemi yalnızca iki basamağa, 0 ve 1'e izin verir.
İkili Toplama Kuralları
Aşağıdaki hileleri veya kuralları hatırladığınızda, ikili toplama işlemi ondalık toplama işleminden çok daha kolaydır. Bu kuralları kullanarak, herhangi bir ikili sayı kolayca eklenebilir. İkili toplamanın dört kuralı şunlardır:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Binary Toplama Nasıl Yapılır?
0 ve 1 rakamlarını kullanan ikili sayılar, bilgisayarlarda verileri depolamak ve temsil etmek için kullanılır. İkili toplamayı öğrenirken iki durum ortaya çıkar ve bunlar aşağıdaki gibidir:
- Yeniden gruplama olmadan ikili toplama
- Yeniden gruplama ile ikili toplama
Yeniden Gruplama Olmadan İkili Değerlerin Toplanması
İki basamağın toplamı 0 veya 1 olduğunda, iki veya daha fazla ikili değer eklerken yeniden gruplamamız gerekmez. Sırasıyla 101 ve 2'nin ikili eşdeğerleri olan (10)2 ve (5)2'yi ekleyelim.
1 Adım: Her iki sayının tüm rakamlarını basamak değerlerine göre ayrı sütunlara yazın.
+1 0 1
+ 1 0
----
----
2 Adım: En sağdaki sütun rakamları olan 1 ve 0'dan başlayın. 1 + 0 = 1 diyen ikili toplama kurallarından birini uygulayın.
+1 0 1
+ 1 0
----
1
----
3 Adım: Soldaki bir sonraki sütuna git. Burada elimizde 0 ve 1 olmak üzere iki rakam var. Yukarıda verilen kurallara bakın ve burada hangi kuralın uygulanacağını bulun. 0 + 1 = 1 diyen ikili toplama kurallarından birini uygulayın.
+1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
4 Adım: Şimdi, son sütunda sadece 1 tane kaldı, yani 1 + 0 = 1 kuralını uygulayabiliriz.
+1 0 1
+ 1 0
----
+1 1 1
----
Bu nedenle, (101)2'yi (10)2 ile topladığımızda, nihai cevap olarak (111)2'yi elde ederiz.
Yeniden Gruplandırma ile Binary Toplama
İki veya daha fazla ikili hanenin toplamı 0 veya 1'den fazla verdiğinde, yeniden gruplama gerekir. Daha iyi kavramak için (1001)2 ve (111)2 ikili tamsayılarını ekleyelim.
Adım 1: Her iki ikili sayının tüm rakamlarını aşağıda gösterildiği gibi basamak değerlerine göre ayrı bir sütuna yazın.
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Adım 2: En sağdaki sütundan başlayarak 1 ve 1'i toplayın. 1 + 1 = 10 diyen ikili toplama kurallarını izleyin. Bu, 2₁₀'ye eşittir. Bu nedenle, en alta 0 yazacağız ve ikisi bir sonraki basamak değeri olarak 1 alacaktır.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Adım 3: Soldaki bir sonraki sütuna geçin. 1 + 0 + 1 = 10 diyen ikili toplama kurallarını takip edin. Bu yine 2₁₀'ye eşittir. Bu nedenle, en alta 0 yazacağız ve ikisi bir sonraki basamak değeri olarak 1 alacaktır.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0
Adım 4: Tekrar soldaki bir sonraki sütuna geçin. 1 + 1 + 0 = 10 diyen ikili toplama kurallarını takip edin. Bu yine 2₁₀'ye eşittir.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Adım 5: Tekrar soldaki bir sonraki sütuna geçin. 1 + 1 + 0 = 10 diyen ikili toplama kurallarını takip edin. Bu yine 2₁₀'ye eşittir. Kalan son sütun olduğu için devir olarak 1 almayacağız, bunun yerine en alta sonuç olarak 10 yazacağız.
+1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Bu nedenle, \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
İkili Toplama Tablosu
0 ve 1 ikili sayılarını toplama tablosu aşağıda verilmiştir:
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (burada 1 taşınır) |
Bu tablodan x ve y'nin iki ikili sayı olduğunu görebilirsiniz. Yani x = 0 ve y = 0 için girdi verdiğimizde, çıktı 0'a eşittir. x = 0 veya 1 ve y = 1 veya 0 olduğunda, x+y = 1 olur. 1'e eşitse, toplamaları 0'a eşittir, ancak taşıma sayısı 1'e eşit olacaktır, bu da ikili toplamada temel olarak 1 + 1 = 10 anlamına gelir, burada 1 bir sonraki basamağa iletilir.
İkili Toplama Örnekleri
İkili toplamaya birkaç örnek aşağıdaki gibidir:
Örnek 1: 10001 + 11101
Çözüm:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Örnek 2: 10111 + 110001
Çözüm:
+1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
1'in Tamamlayıcısını Kullanarak İkili Toplama
- Numara 0 pozitif işareti temsil eder
- Numara 1 eksi işareti temsil eder
Pozitif ve Negatif Sayı Toplama
Durum 1: Pozitif bir sayının büyüklüğü daha büyük olduğunda
Negatif sayının 1'e tümleyenini alın ve taşıma, elde edilen toplama 1'ler yerinde eklenir. Elde edilen sonuç ile taşımayı topladığınızda, toplam değeri alırsınız.
Örnek:
+ 1111 ve -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (1'in tümleyeni alınarak)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
Bu nedenle, çözüm + 0010'dur.
- Durum 2: Negatif bir sayının büyüklüğü daha büyük olduğunda
Negatif sayının 1'e tümleyenini alın ve bu durumda uçtan uca taşıma olmayacaktır. Son olarak, sonucun 1'e tümleyeni alınarak toplam elde edilir.
Örnek:
+ 1111 ve -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (1'in tümleyeni alınarak)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (1'in tümleyeni alınır)
İki Negatif Sayının Toplanması
Her iki negatif sayının 1'e tümleyenini alın ve sonra ekleyin. Taşıma etrafındaki son görünecek ve işaret bitinde 1 sayısını üretecektir. Toplam değer, sonucun 1'e tümleyeni alınarak elde edilebilir.
Örnek:
- -1010 ve – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (1'in tümleyeni alınarak)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (1'in tümleyeni alınarak)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (1'in tümleyeni alınır)
Bu nedenle çözüm - 1101'dir.
İkili Toplamada Taşma
Bir ikili eklemedeki taşma, genellikle son taşıma nesli gibi görünür. Öte yandan taşma, hatalı bir toplamla sonuçlanırken, taşıma yapmaz. Doğru anlaşılmadıysa, bu biraz kafa karıştırıcı olabilir. Öyleyse, taşma kavramını sağlam bir şekilde kavrayalım.
Yarısı dolu bir çay bardağınız olduğunu varsayalım. Tanıdığınızın içinde biraz çay bulunan bir kabı var. Senin ve kendisinin toplam ne kadar çay içtiğini öğrenmek istiyor. Sonuç olarak, çayını fincanınıza döker. Bununla birlikte, çayın toplam hacmi fincanınızın boyutundan daha fazladır. Arkadaşınız çayını fincanınıza döktüğünde içki dökülmeye başladı. Burada unutulmaması gereken en önemli şey, kabın kapasitesinden fazlasını dökerseniz taşar. Bu, ikili toplamadaki taşma fikrine benzer.
Bunu anlamak için bir örnek verelim.
Taşma Açıklaması
Önceki örnekte, 120 + 62 toplama işlemini gerçekleştiriyoruz. Yukarıdaki şemada gösterildiği gibi, cevap 182 olmalıdır. Öte yandan, ikili toplama doğru toplamı vermedi. Şimdi, ikili aritmetiğin temel yasalarına uymamıza rağmen, hadi işlerin nerede yanlış gittiğini bulalım.
Sayıların 8 bit 2'ye tümleyen temsilini kullandık. Her sayı (120, 62), işaret için bir bit (her ikisi için '7') kalacak şekilde 0 büyüklük biti kullanılarak ifade edilebilir. Ancak sonucun büyüklüğü (182 => 10110110) 8 bit gerektirir. 2'ye tümleyen 8 bitlik bir kodlama olduğundan, işaret biti toplamın 8. bitidir. Toplamdaki işaret biti '1' olduğu için negatif bir sayıdır. Ayrıca, toplamın boyutu yanlıştır. Gerçek sonuç 74 olduğunda, hesaplanan toplam şimdi -182'tür. Bunun olmasına ne sebep oldu?
Bunun nedeni, 182'nin 8 ikili bit ile temsil edilebilecek işaretli sayılar aralığının dışında olmasıdır. Üretilen toplam 182, 9'nin tümleyen formatında doğru bir şekilde temsil edilmesi için 2 bit gerektirir. İki n-bit değerle başladığımızda ve toplam n+1 bit aldığında taşma elde ederiz. Bilgisayarlarda taşma bir sorundur çünkü sayı tutan bit sayısı sonludur ve sonlu değeri bir birim aşan bir sonuç işlenemez.
Taşma ve Nihai Gerçekleştirme
Felsefi olarak, taşma ve gerçekleştirme eşanlamlıdır. Her ikisi de çözümün ayrılan alana sığmadığını ima eder. En anlamlı bit yürütüldüğünde, yürütme oluşturulur. En önemli bitte bir taşıma olduğunda, taşma meydana gelir.
İşaretsiz sayı aritmetiği örneğinde görülebilir. Ancak, yürütmenin oluşturulması sırasında toplam değişmez. Taşıma bayrağı kaldırıldı. Sonucu içeren kaydın içeriği, taşıma ile birlikte uygun toplamı verir.
İşaretli sayı aritmetiği durumunda taşma meydana gelir. Ancak taşma oluşumu sonucu miktar zarar görür. Sonucun yanlış olduğunu belirten taşma bayrağı ayarlanır.
Sonuç olarak,
İkili toplama, ikili sistemlerin temel işlemlerinden biridir. Bildiğimiz gibi, "İkili İşlem" terimi, iki işlenen üzerinde gerçekleştirilen temel matematiksel işlemleri ifade eder. İkili toplama, iki veya daha fazla 10 tabanlı tam sayının toplanması gibi, sayıların sağından başlayarak rakamların toplanmasıyla yapılır.
İlgili Makaleler
- İKİLİ TİCARET: Nasıl çalışır?
- Bilgi Yönetim Sistemleri: Ayrıntılı Kılavuz
- 15'de İşletmeler için 2023+ EN İYİ TELEFON NUMARASI
- Amortisman: Tanımı, Nasıl Hesaplanacağı ve Nedenleri.
- E-Pazarlama: En İyi Kılavuz (Güncellendi)
Referanslar
