Двоичное сложение выполняется путем добавления цифр, начиная с правой стороны числа, таким же образом, как складываются два или более целых числа с основанием 10. Значения разрядов в двоичном сложении задаются как единицы, двойки, четверки, восьмерки, шестнадцать и так далее. Мы начинаем со сложения цифр в столбце единиц, затем идем влево, добавляя цифры в столбце двоек, затем цифры в столбце четверок и так далее. Единственное отличие состоит в том, что здесь мы перегруппировываемся, когда сумма цифр превышает 1. Давайте узнаем больше о правилах, регулирующих двоичное сложение, а также о концепции переполнения в этой статье.
Что такое бинарное сложение?
За исключением того, что это система с основанием 2, операция двоичного сложения работает идентично десятичной системе с основанием 10. Двоичная система имеет только две цифры, 1 и 0. Она используется для большинства функций компьютерной системы. Двоичный код использует цифры 1 и 0 для включения и выключения определенных процессов. При переходе на основание 2 процесс сложения очень похож на десятичную систему.
Прежде чем приступить к процедуре двоичного сложения, мы сначала поймем, как работает место в двоичной системе счисления. Поскольку двоичная операция выполняется большинством современных цифровых компьютеров и электронных схем, выражая каждый бит как сигнал напряжения. Бит 0 обозначает состояние «ВЫКЛ», а бит 1 обозначает состояние «ВКЛ».
Одной из арифметических операций над двоичными числами или системами счисления с основанием 2 является сложение двух или более двоичных чисел. Когда мы добавляем 3 + 2 в десятичном сложении, мы получаем 5. Точно так же, складывая их двоичные эквиваленты, (11)2 и (10)2, получаем (11)2 + (10)2 = (101)2, что составляет 5 в базе-10. Результаты двоичного и десятичного сложения дают один и тот же ответ; единственная разница заключается в разрядных значениях цифр. Процедура двоичного сложения покажется вам довольно знакомой; единственное отличие состоит в том, что в десятичной системе счисления, как только мы достигнем суммы цифр, превышающей 9, мы перегруппируем следующее разрядное значение, поскольку в десятичной системе используются десять цифр от 0 до 9. Однако при объединении двоичных чисел мы перегруппируем следующее разрядное значение, когда сумма цифр превышает 1, потому что двоичная система счисления допускает только две цифры, 0 и 1.
Правила двоичного сложения
Двоичное сложение намного проще, чем десятичное сложение, если вы помните следующие приемы или правила. Используя эти правила, можно легко сложить любое двоичное число. Четыре правила двоичного сложения:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Как вы делаете двоичное сложение?
Двоичные числа, в которых используются цифры 0 и 1, используются в компьютерах для хранения и представления данных. При обучении бинарному сложению возникают два случая, и они таковы:
- Бинарное сложение без перегруппировки
- Бинарное сложение с перегруппировкой
Добавление двоичных значений без перегруппировки
Когда сумма двух цифр равна 0 или 1, нам не нужно перегруппировывать при добавлении двух или более двоичных значений. Добавим (101)2 и (10)2, которые являются двоичными эквивалентами 5 и 2 соответственно.
Шаг 1: Запишите все цифры обоих чисел в отдельные столбцы в соответствии с их разрядами.
1 0 1
+ 1 0
----
----
Шаг 2: Начните с цифр самого правого столбца, 1 и 0. Примените одно из правил двоичного сложения, согласно которому 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
Шаг 3: Переход к следующему столбцу слева. Здесь у нас есть две цифры 0 и 1. Посмотрите на приведенные выше правила и выясните, какое правило будет применяться здесь. Примените одно из правил двоичного сложения, согласно которому 0 + 1 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
Шаг 4: Теперь в последнем столбце у нас остался только 1, поэтому мы можем применить правило 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
Следовательно, складывая (101)2 с (10)2, мы получаем (111)2 как окончательный ответ.
Бинарное сложение с перегруппировкой
Когда сумма двух или более двоичных цифр больше 0 или 1, требуется перегруппировка. Чтобы лучше понять это, добавим двоичные целые числа (1001)2 и (111)2.
Шаг 1: Запишите все цифры обоих двоичных чисел в отдельный столбец в соответствии с их разрядностью, как показано ниже.
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Шаг 2: Начиная с крайнего правого столбца, добавьте 1 и 1. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 = 10. Это эквивалентно 2₁₀. Следовательно, мы напишем 0 внизу, а два возьмем 1 в качестве переноса на следующее значение разряда.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Шаг 3: Перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 0 + 1 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀. Следовательно, мы напишем 0 внизу, а два возьмем 1 в качестве переноса на следующее значение разряда.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0
Шаг 4: снова перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 + 0 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Шаг 5: снова перейдите к следующему столбцу слева. Следуйте правилам двоичного сложения, согласно которым 1 + 1 + 0 = 10. Это снова эквивалентно 2₁₀. Поскольку это последний оставшийся столбец, мы не будем брать 1 в качестве переноса, вместо этого мы напишем 10 в качестве результата внизу.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Следовательно, \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Двоичная таблица сложения
Таблица для сложения двух двоичных чисел 0 и 1 приведена ниже:
| x | y | х + у |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (где 1 переносится) |
Из этой таблицы видно, что x и y — два двоичных числа. Поэтому, когда мы даем ввод для x = 0 и y = 0, тогда выход равен 0. Когда x = 0 или 1 и y = 1 или 0, тогда x + y = 1. Но когда оба x и y равны равны 1, то их сумма равна 0, но число переноса будет равно 1, что означает в основном 1 + 1 = 10 в двоичном сложении, где 1 переносится на следующую цифру.
Примеры двоичного сложения
Вот несколько примеров бинарных сложений:
Пример 1: 10001 + 11101
Решение:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Пример 2: 10111 + 110001
Решение:
1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Двоичное сложение с использованием дополнения до 1
- Номер 0 представляет положительный знак
- Номер 1 представляет отрицательный знак
Добавление положительного и отрицательного числа
Случай 1: Когда положительное число имеет большую величину
Возьмите дополнение до 1 отрицательного числа, и перенос прибавится к полученной сумме на месте 1. Когда вы добавите перенос с результатом, вы получите значение суммы.
Это критически важно для анализа и выбора наиболее эффективных ключевых слов для улучшения рейтинга вашего сайта.
+ 1111 и -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (дополнение до 1)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
Следовательно, решение равно +0010.
- Случай 2: Когда отрицательное число имеет большую величину
Возьмите дополнение до 1 отрицательного числа, и в этом случае не будет переноса в конце. Наконец, сумма получается путем взятия дополнения до 1 равнодействующей.
Это критически важно для анализа и выбора наиболее эффективных ключевых слов для улучшения рейтинга вашего сайта.
+ 1111 и -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (дополнение до 1)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (дополнение до 1)
Сложение двух отрицательных чисел
Возьмите дополнение до 1 обоих отрицательных чисел, а затем добавьте. Появится конец вокруг переноса, и он сгенерирует число 1 в бите знака. Значение суммы можно получить, взяв дополнение до 1 результата.
Это критически важно для анализа и выбора наиболее эффективных ключевых слов для улучшения рейтинга вашего сайта.
- -1010 и – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (дополнение до 1)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (дополнение до 1)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (дополнение до 1)
Поэтому решение - 1101
Переполнение в двоичном сложении
Переполнение в двоичном сложении часто оказывается последним поколением переноса. С другой стороны, переполнение приводит к неточной сумме, а перенос — нет. Если неправильно понять, это может вызвать некоторое недоумение. Итак, давайте разберемся с понятием переполнения.
Предположим, у вас есть наполовину полная чашка чая. У вашего знакомого есть контейнер с чаем. Он хочет знать, сколько чая у вас и у него в сумме. В результате он наливает свой чай в вашу чашку. Однако общий объем чая больше, чем размер вашей чашки. Когда ваш друг налил свой чай в вашу чашку, напиток начал проливаться. Здесь важно помнить, что если вы нальете больше, чем вместимость контейнера, он переполнится. Это аналогично идее переполнения в двоичном сложении.
Давайте возьмем пример, чтобы понять это.
Объяснение переполнения
В предыдущем примере мы выполняем сложение 120 + 62. Ответ должен быть 182, как показано на диаграмме выше. С другой стороны, двоичное сложение не дало правильной суммы. Теперь, несмотря на то, что мы соблюдали основные законы двоичной арифметики, давайте разберемся, где что-то пошло не так.
Мы использовали 8-битное представление чисел с дополнением до 2. Каждое число (120, 62) может быть выражено с использованием 7 битов величины, при этом один бит остается для знака («0» для обоих). Однако величина результата (182 => 10110110) требует 8 бит. Поскольку это 2-битное кодирование с дополнением до 8, бит знака является 8-м битом от общего числа. Поскольку бит знака в сумме равен «1», это отрицательное число. Кроме того, размер суммы неточен. Расчетная сумма теперь равна -74, тогда как фактический результат равен 182. Что вызвало это?
Это произошло из-за того, что 182 находится за пределами диапазона чисел со знаком, которые могут быть представлены 8 двоичными битами. Сгенерированная сумма 182 требует точного представления 9 битов в формате дополнения до 2. Когда мы начинаем с двух n-битных значений, а сумма занимает n+1 бит, мы получаем переполнение. В компьютерах переполнение является проблемой, поскольку количество битов, содержащих число, конечно, и результат, превышающий конечное значение на единицу, не может быть обработан.
Переполнение против окончательного выполнения
С философской точки зрения переполнение и вынос являются синонимами. Оба подразумевают, что решение не помещается в отведенную область. Когда выполняется самый старший бит, генерируется перенос. При переносе старшего бита происходит переполнение.
Это можно увидеть на примере арифметики беззнаковых чисел. Тем не менее, сумма не изменяется во время генерации выполнения. Флаг переноса поднят. Содержимое регистра, содержащего результат, вместе с переносом дает правильную сумму.
Переполнение происходит в ситуации арифметики чисел со знаком. Сумма, однако, становится поврежденной в результате образования перелива. Устанавливается флаг переполнения, указывающий, что результат неверен.
В заключение,
Двоичное сложение — одна из основных операций двоичных систем. Как мы уже знаем, термин «бинарная операция» относится к фундаментальным математическим операциям, которые выполняются над двумя операндами. Двоичное сложение выполняется путем сложения цифр, начиная с правой стороны числа, таким же образом, как складываются два или более целых числа с основанием 10.
Статьи по теме
- БИНАРНАЯ ТОРГОВЛЯ: Как это работает
- Системы управления знаниями: подробное руководство
- 15+ ЛУЧШИХ ТЕЛЕФОННЫХ НОМЕРОВ для бизнеса в 2023 году
- АМОРТИЗАЦИЯ: определение, как рассчитать и причины.
- Электронный маркетинг: полное руководство (обновлено)
Рекомендации
