Binaire optelling wordt uitgevoerd door de cijfers toe te voegen vanaf de rechterkant van de getallen, op dezelfde manier als twee of meer gehele getallen met grondtal 10 worden toegevoegd. De plaatswaarden in binaire optelling worden gegeven als enen, tweeën, vieren, achten, zestienden, enzovoort. We beginnen met het optellen van de cijfers in de kolom van één, gaan dan naar links, voegen de cijfers toe in de kolom met tweeën, dan de cijfers in de kolom met viertallen, enzovoort. Het enige verschil is dat we hier hergroeperen wanneer de som van de cijfers groter is dan 1. Laten we in dit artikel meer leren over de regels voor binaire optelling en over het concept van overloop.
Wat is binaire optelling?
Behalve dat het een systeem met grondtal 2 is, werkt de binaire optelbewerking identiek aan het decimale systeem met grondtal 10. Het binaire systeem heeft slechts twee cijfers, 1 en 0. Het wordt gebruikt voor de meeste computersysteemfuncties. De binaire code gebruikt de cijfers 1 en 0 om specifieke processen in en uit te schakelen. Door over te schakelen naar de basis 2, lijkt het proces van optellen sterk op het decimale systeem.
Voordat we beginnen met de binaire optelprocedure, begrijpen we eerst hoe de plaats werkt in het binaire getallenstelsel. Omdat de binaire bewerking wordt uitgevoerd door de meeste huidige digitale computers en elektronische circuits door elke bit uit te drukken als een spanningssignaal. Bit 0 geeft de status "UIT" aan, terwijl bit 1 de status "AAN" aangeeft.
Een van de rekenkundige bewerkingen op binaire getallen of talstelsels met grondtal 2 is het optellen van twee of meer binaire getallen. Als we 3 + 2 in decimale optelling optellen, krijgen we 5. Evenzo levert het optellen van hun binaire equivalenten, (11)2 en (10)2, (11)2 + (10)2 = (101)2 op, wat 5 is in basis-10. De resultaten van binaire en decimale optelling leveren hetzelfde antwoord op; het enige verschil zit in de plaatswaarden van de cijfers. De procedure van binaire optelling zal u bekend voorkomen; het enige verschil is dat in het decimale talstelsel, zodra we de som van de cijfers meer dan 9 bereiken, we de volgende plaatswaarde hergroeperen, aangezien het decimale systeem tien cijfers van 0 tot 9 gebruikt. Bij het combineren van binaire getallen hergroeperen we echter de volgende plaatswaarde wanneer de som van de cijfers groter is dan 1, omdat het binaire getallenstelsel slechts twee cijfers toestaat, 0 en 1.
Regels voor binaire optelling
Binaire optelling is veel gemakkelijker dan de decimale optelling als u de volgende trucs of regels onthoudt. Met behulp van deze regels kan elk binair getal eenvoudig worden opgeteld. De vier regels van binaire optelling zijn:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Hoe doe je binaire optelling?
Binaire getallen, die de cijfers 0 en 1 gebruiken, worden in computers gebruikt om gegevens op te slaan en weer te geven. Er doen zich twee gevallen voor tijdens het leren van binaire optelling, en deze zijn als volgt:
- Binaire optelling zonder hergroepering
- Binaire optelling met hergroepering
Toevoeging van binaire waarden zonder hergroepering
Wanneer de som van twee cijfers 0 of 1 is, hoeven we niet te hergroeperen bij het optellen van twee of meer binaire waarden. Laten we (101)2 en (10)2 optellen, de binaire equivalenten van respectievelijk 5 en 2.
Stap 1: Schrijf alle cijfers van beide getallen in afzonderlijke kolommen volgens hun plaatswaarden.
1 0 1
+ 1 0
----
----
Stap 2: Begin met de cijfers in de meest rechtse kolom, 1 en 0. Pas een van de regels van binaire optelling toe die zegt 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
Stap 3: Ga naar de volgende kolom aan de linkerkant. Hier hebben we twee cijfers 0 en 1. Bekijk de bovenstaande regels en ontdek welke regel hier wordt toegepast. Pas een van de binaire optelregels toe die zegt 0 + 1 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
Stap 4: Nu hebben we in de laatste kolom nog maar 1 over, dus we kunnen de regel toepassen, 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
Dus door (101)2 op te tellen bij (10)2, krijgen we (111)2 als het uiteindelijke antwoord.
Binaire optelling met hergroepering
Wanneer de som van twee of meer binaire cijfers meer dan 0 of 1 oplevert, is hergroeperen vereist. Laten we, om het beter te begrijpen, binaire gehele getallen (1001)2 en (111)2 optellen.
Stap 1: Schrijf alle cijfers van beide binaire getallen in een aparte kolom volgens hun plaatswaarden, zoals hieronder weergegeven
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Stap 2: Begin bij de meest rechtse kolom en tel 1 en 1 op. Volg de binaire optelregels die zeggen 1 + 1 = 10. Dit komt overeen met 2₁₀. Daarom schrijven we 0 onderaan en twee nemen 1 als overdracht naar de volgende plaatswaarde.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Stap 3: Ga naar de volgende kolom aan de linkerkant. Volg de binaire optelregels die zeggen 1 + 0 + 1 = 10. Dit is weer gelijk aan 2₁₀. Daarom schrijven we 0 onderaan en twee nemen 1 als overdracht naar de volgende plaatswaarde.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Stap 4: Ga opnieuw naar de volgende kolom aan de linkerkant. Volg de binaire optelregels die zeggen 1 + 1 + 0 = 10. Dit is weer gelijk aan 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Stap 5: Ga opnieuw naar de volgende kolom aan de linkerkant. Volg de binaire optelregels die zeggen 1 + 1 + 0 = 10. Dit is weer gelijk aan 2₁₀. Omdat dit de laatste kolom is die nog over is, nemen we niet 1 als overdracht, maar schrijven we 10 als resultaat onderaan.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Daarom is \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Binaire opteltabel
De tabel voor het optellen van twee binaire getallen 0 en 1 wordt hieronder gegeven:
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (waarbij 1 wordt overgedragen) |
Je kunt uit deze tabel zien dat x en y de twee binaire getallen zijn. Dus als we de invoer geven voor x = 0 en y = 0, dan is de uitvoer gelijk aan 0. Als x = 0 of 1 en y = 1 of 0, dan is x+y = 1. Maar als zowel x als y gelijk aan 1, dan is hun optelling gelijk aan 0, maar het overdrachtsnummer zal gelijk zijn aan 1, wat in feite 1 + 1 = 10 betekent in binaire optelling, waarbij 1 wordt overgedragen naar het volgende cijfer.
Voorbeelden van binaire optelling
Een paar voorbeelden van binaire optellingen zijn als volgt:
Voorbeeld 1: 10001 + 11101
Oplossing:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Voorbeeld 2: 10111 + 110001
Oplossing:
1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Binaire optelling met behulp van 1-complement
- Het aantal 0 vertegenwoordigt het positieve teken
- Het aantal 1 vertegenwoordigt het negatieve teken
Toevoeging van positief en negatief getal
Geval 1: Wanneer een positief getal een grotere omvang heeft
Neem het 1-complement van het negatieve getal en de carry wordt toegevoegd aan de resulterende som op de plaats van de 1. Wanneer u de carry bij de resultante optelt, krijgt u de somwaarde.
Voorbeeld:
+1111 en -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (1-complement nemen)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
Daarom is de oplossing + 0010.
- Geval 2: wanneer een negatief getal een grotere omvang heeft
Neem het 1-complement van het negatieve getal en er is in dit geval geen end-around carry. Ten slotte wordt de som verkregen door het 1-complement van de resultante te nemen.
Voorbeeld:
+1111 en -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (1-complement nemen)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (1-complement nemen)
Optellen van twee negatieve getallen
Neem het 1-complement van beide negatieve getallen en tel dan op. Het einde rond dragen zal verschijnen en het zal een nummer 1 genereren in het tekenbit. De somwaarde kan worden verkregen door het 1-complement van de resultante te nemen.
Voorbeeld:
- -1010 en – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (1-complement nemen)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (1-complement nemen)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (1-complement nemen)
Daarom is de oplossing - 1101
Overloop in binaire optelling
Overflow in een binaire optelling lijkt vaak een laatste carry-generatie te zijn. Overflow daarentegen resulteert in een onnauwkeurige som, terwijl carry dat niet doet. Als dit niet goed wordt begrepen, kan dit een beetje verwarrend zijn. Dus laten we het begrip overflow goed begrijpen.
Stel dat je een halfvolle theekop hebt. Uw kennis heeft een bakje met wat thee. Hij wil weten hoeveel thee jij en hij in totaal hebben. Hierdoor schenkt hij zijn thee in je kopje. Het totale volume thee is echter groter dan de grootte van uw kopje. Toen je vriend zijn thee in je kopje schonk, begon het drankje te morsen. Het cruciale om te onthouden is dat als u meer dan de capaciteit van de container giet, deze zal overlopen. Dit is analoog aan het overloopidee bij binaire optelling.
Laten we een voorbeeld nemen om dit te begrijpen.
Overloop uitgelegd
In het voorgaande voorbeeld voeren we de optelling 120 + 62 uit. Het antwoord zou 182 moeten zijn, zoals geïllustreerd in het bovenstaande diagram. De binaire optelling leverde daarentegen niet de juiste som op. Laten we nu, hoewel we de basiswetten van binaire rekenkunde hebben gevolgd, uitzoeken waar het fout is gegaan.
We gebruikten een 8-bits 2-complement-weergave van getallen. Elk getal (120, 62) kan worden uitgedrukt met behulp van 7 magnitudebits, met één bit over voor teken ('0' voor beide). De omvang van het resultaat (182 => 10110110) vereist echter 8 bits. Omdat het een 2-complement 8-bits codering is, is het tekenbit het 8e bit van het totaal. Omdat het tekenbit in het totaal '1' is, is het een negatief getal. Bovendien klopt de hoogte van het bedrag niet. Het berekende totaal is nu -74, terwijl het werkelijke resultaat 182 is. Wat veroorzaakte dit?
Dit gebeurde omdat 182 buiten het bereik van getallen met teken valt dat kan worden weergegeven door 8 binaire bits. De gegenereerde som, 182, vereist 9 bits om nauwkeurig te worden weergegeven in 2-complement formaat. Wanneer we beginnen met twee n-bits waarden en de som neemt n+1 bits in beslag, krijgen we een overflow. Bij computers is overflow een probleem omdat het aantal bits dat een getal bevat eindig is en een resultaat dat de eindige waarde met één overschrijdt, niet kan worden verwerkt.
Overflow versus definitieve uitvoering
Filosofisch gezien zijn overflow en carry-out synoniem. Beide impliceren dat de oplossing niet binnen het toegewezen gebied past. Wanneer het meest significante bit wordt uitgevoerd, wordt uitvoeren gegenereerd. Wanneer er een carry is naar het meest significante bit, treedt de overloop op.
Het is te zien in het geval van rekenen met niet-ondertekende getallen. De som wordt echter niet gewijzigd tijdens het genereren van de uitvoering. De draagvlag is gehesen. De inhoud van het register met het resultaat levert samen met de carry de juiste som op.
Overflow treedt op in de situatie van rekenkundige getallen met teken. De hoeveelheid raakt echter beschadigd als gevolg van de vorming van overloop. De overflow-vlag is ingesteld, wat aangeeft dat het resultaat onjuist is.
Ten slotte,
Binaire optelling is een van de basisbewerkingen van binaire systemen. Zoals we al weten, verwijst de term "Binaire bewerking" naar de fundamentele wiskundige bewerkingen die worden uitgevoerd op twee operanden. Binaire optelling wordt uitgevoerd door de cijfers toe te voegen vanaf de rechterkant van de getallen, op dezelfde manier als twee of meer gehele getallen met grondtal 10 worden toegevoegd.
Gerelateerde artikelen
- BINAIRE HANDEL: Hoe het werkt
- Kennisbeheersystemen: gedetailleerde gids
- 15+ BESTE TELEFOONNUMMERS voor bedrijven in 2023
- AFSCHRIJVING: definitie, hoe het te berekenen en oorzaken.
- E-marketing: de ultieme gids (bijgewerkt)
Referenties
