Programação dinâmica é um termo que provavelmente já foi usado se você já está no campo há algum tempo. O tópico surge com frequência em reuniões de revisão de projeto e nas interações do dia a dia dos engenheiros, e também é um ponto focal em entrevistas técnicas. A estratégia de dividir e conquistar é um método infalível para alcançar qualquer objetivo. Na programação de computadores, essa mesma ideia é verdadeira. Inúmeras dificuldades possuem subtipos que podem ser isolados e tratados separadamente, permitindo a resolução final do problema primário. Neste artigo, discutiremos o algoritmo de programação dinâmica e o Python.
O que é programação dinâmica?
A programação dinâmica é um método para resolver problemas complexos, primeiro reduzindo-os a problemas mais simples e, em seguida, usando as soluções para esses problemas mais simples como blocos de construção para resolver o problema original.
Segmentamos o problema em questão em partes gerenciáveis. Na maioria dos casos, a única distinção real entre o problema dos pais e os problemas de seus filhos são seus tamanhos relativos. Assim, esses miniproblemas podem ser decompostos em ainda mais miniproblemas, e assim por diante, indefinidamente. Imagine que um problema e seus vários subproblemas formam uma árvore. Os problemas “folha” são resolvidos primeiro, seguidos pelos problemas “pais” e assim por diante na árvore de problemas. À medida que enfrentamos dificuldades menores, registramos nosso progresso para uso posterior. Isso nos permite pular essa parte do problema no futuro.
Esse método é semelhante à técnica de dividir e conquistar, pois divide um problema em problemas menores que podem ser resolvidos independentemente e depois combinados para obter a solução final.
Como funciona a programação dinâmica?
A programação dinâmica é eficaz porque simplifica questões difíceis, decompondo-as em partes constituintes. O próximo passo é identificar as melhores respostas para esses desafios que se seguem. Os resultados desses procedimentos podem ser memorizados para que as soluções correspondentes possam ser recuperadas do armazenamento e usadas sem computação adicional. Além disso, a solução pode ser salva para evitar recalcular subproblemas resolvidos anteriormente.
Existem dois métodos para realizar a programação dinâmica:
#1. Abordagem de cima para baixo
Na ciência da computação, os problemas geralmente são resolvidos construindo soluções recursivamente ou usando os resultados das etapas anteriores para resolver o problema em questão. É possível memorizar ou manter uma tabela das soluções dos subproblemas se forem semelhantes. O método de cima para baixo é baseado no aprendizado por memória mecânica. Memoização é o mesmo que executar recursão e cache duas vezes. A recursão envolve fazer uma chamada indireta para a função, enquanto o armazenamento em cache envolve acompanhar os resultados intermediários.
Entre as muitas vantagens da abordagem de cima para baixo estão:
- O método de cima para baixo é simples de entender e aplicar. Para entender melhor o que precisa ser feito, esse método desconstrói os problemas em seus elementos componentes. Cada novo desenvolvimento traz consigo o alívio de um obstáculo anteriormente intransponível. Algumas das peças podem até ser aplicáveis a outros problemas.
- Permite a solução de subproblemas sob demanda. O método top-down permitirá a decomposição dos problemas em partes gerenciáveis, com as soluções para essas partes sendo armazenadas para uso posterior. Em seguida, os clientes podem pedir ajuda para consertar cada componente.
- A depuração também é simplificada. Dividir um problema em partes menores torna mais fácil seguir a resposta e ver possíveis erros.
A seguir estão algumas das desvantagens de usar uma abordagem de cima para baixo:
- A estratégia de cima para baixo faz uso do método de recursão, que ocupa mais memória na pilha de chamadas do que outras abordagens. Em última análise, isso resulta em uma diminuição no desempenho. Além disso, pode ocorrer um estouro de pilha se a recursão voltar muito no passado.
#2. Abordagem de baixo para cima
Depois que a solução de um problema foi expressa em termos de seus subproblemas de uma forma que retorna a si mesma, os usuários podem reescrever o problema usando a abordagem de baixo para cima, na qual resolvem os subproblemas menores primeiro e depois aplicam suas soluções aos maiores. .
Ao contrário do método top-down, a recursão é eliminada ao usar o método bottom-up. Portanto, as funções recursivas não adicionam sobrecarga desnecessária ou fazem com que a pilha transborde. Além disso, permite a compressão de dados. A complexidade temporal da recursão é reduzida eliminando a necessidade de recalcular os mesmos valores.
Alguns benefícios de trabalhar desde o início são os seguintes:
- Ele primeiro determina como um grande problema será construído a partir de subproblemas menores e reutilizáveis.
- Ao acabar com a recursão, ele ajuda a usar melhor a memória disponível. A complexidade do tempo é reduzida como um efeito colateral.
Características da Programação Dinâmica
Existem duas características distintivas da programação dinâmica:
#1. Sobreposição de Subproblemas
Modificações de um problema primário que são mais gerenciáveis são chamadas de “subproblemas”. A sequência de Fibonacci, na qual cada número é igual à soma dos dois anteriores (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8,…). Você pode dividir a tarefa de encontrar o valor enésimo na sequência de Fibonacci em partes mais gerenciáveis. À medida que você encontra soluções abordando o mesmo subproblema repetidamente, esses conjuntos de dificuldades sobrepostos tornam-se cada vez mais difíceis de resolver.
A programação dinâmica pode ser usada para particionar grandes tarefas de programação em blocos gerenciáveis devido à ocorrência universal de subproblemas sobrepostos.
#2. A subestrutura tem propriedades ideais
A propriedade de subestrutura ótima se manifesta quando é possível criar uma solução ótima a partir das soluções para todos os subproblemas. Para que a recursão funcione, você deve aplicar a resposta derivada de cada sobreposição a todo o problema. A propriedade de subestrutura ótima é exibida por todo o problema quando, como no caso da sequência de Fibonacci, cada subproblema tem uma solução que pode ser aplicada ao próximo subproblema na sequência para determinar seu valor.
Usos da programação dinâmica no mundo real
Aqui estão os usos da programação dinâmica.
#1. problema da mochila
A programação dinâmica tem sido amplamente utilizada para resolver o problema da mochila. Estes são os problemas que enfrentamos:
O valor ideal para cada subquestão, determinado pelo número de itens em questão e pelo espaço que sobra na mochila, pode ser armazenado em um array bidimensional, agilizando o trabalho desse problema. Podemos maximizar o valor incluindo ou excluindo o item atual em cada estágio. A resposta pode ser encontrada no canto inferior direito da matriz.
O problema da mochila pode ser usado em uma ampla variedade de contextos, desde fazer malas até tomar decisões de investimento e alocar recursos.
#2. Caminho mais curto de todos os pares
A questão do caminho mais curto em um grafo ponderado é outro uso típico da programação dinâmica. Usando técnicas como Floyd-Warshall ou Bellman-Ford, podemos encontrar o caminho mais curto entre quaisquer dois pares de nós.
Para rastrear o caminho mais curto entre quaisquer dois nós dados, esses algoritmos empregam uma matriz tridimensional. Além disso, para acompanhar a distância do ponto de partida, eles comparam o resultado com a distância entre o ponto de partida e o nó intermediário em cada estágio. Afinal, as iterações estão completas, a solução final será a matriz de distância.
Existem vários usos para resolver o problema do caminho mais curto de todos os pares, como na análise de rede, roteamento, navegação, análise de rede social, etc.
#3. Escultura de costura
No campo do processamento de imagem, o entalhe de costura é uma aplicação intrigante da programação dinâmica. A tarefa em questão é reduzir o tamanho de uma imagem sem alterar nenhuma de suas características essenciais. As rotas de baixa energia em uma imagem, conhecidas como costuras, podem ser usadas para subtrair ou adicionar pixels para obter esse efeito.
Usando programação dinâmica, podemos calcular a energia cumulativa de cada pixel na imagem com base em seu gradiente e vizinhos e, em seguida, utilizar essa informação para determinar quais costuras devem ser removidas ou adicionadas. Então, subindo da parte inferior da imagem, podemos localizar a costura com a menor quantidade de energia potencial. Este método pode ser usado novamente até que o tamanho necessário seja alcançado.
Além disso, as imagens podem ser redimensionadas, cortadas, redirecionadas e muito mais com a ajuda da escultura de costura.
#4. Aprendizado de Máquina e Genômica
Desafios de aprendizado de máquina e genômica, como alinhamento de sequência, modelos ocultos de Markov e árvores filogenéticas, são passíveis de habilidades de resolução de problemas da programação dinâmica.
O alinhamento de várias sequências de símbolos (frequentemente DNA ou proteínas) para descobrir semelhanças é chamado de alinhamento de sequência. Isso pode lançar luz sobre suas ligações evolutivas, funções na sociedade ou características estruturais. Alinhamentos ideais podem ser encontrados por meio de programação dinâmica, atribuindo pontuações a correspondências e incompatibilidades entre sequências.
Modelos probabilísticos conhecidos como modelos ocultos de Markov são usados para descrever dados de séries temporais condicionais a estados desconhecidos. Eles são úteis para modelar fenômenos difíceis como reconhecimento de fala, NLP, bioinformática, etc. Quando dado um conjunto de observações, técnicas de programação dinâmica como Viterbi e Forward-Backward podem determinar a sequência mais provável de estados ocultos.
As árvores filogenéticas mostram as conexões entre espécies ou genes ao longo do tempo. É possível inferir ancestrais comuns, datas de divergência e eventos evolutivos dessas semelhanças. Além disso, um algoritmo de programação dinâmica como Fitch e Sankoff pode ser usado para gerar árvores filogenéticas ideais usando dados de sequenciamento.
#5. Criptografia
A criptografia, o estudo da comunicação secreta, também se beneficia das habilidades de resolução de problemas da programação dinâmica. Criptografia, descriptografia, assinaturas digitais, autenticação e outros processos semelhantes fazem parte da criptografia.
A criptografia converte informações legíveis por humanos em legíveis por chave secreta. Descriptografia é o processo de converter dados criptografados de volta em texto sem formatação usando a chave original ou uma nova. As assinaturas digitais permitem a verificação da autenticidade e integridade de uma mensagem ou documento. A verificação das credenciais do remetente ou do destinatário pode verificar a identidade do remetente ou do destinatário.
Diferentes tipos de criptografia, incluindo criptografia de chave dinâmica, criptografia baseada em código e criptografia baseada em programação dinâmica, podem ser implementados com programação dinâmica.
A criptografia de chave dinâmica é um mecanismo para criptografar e descriptografar mensagens com chaves que mudam constantemente. As chaves que são “dinâmicas” são aquelas que evoluem com o tempo ou em resposta a outros fatores. Isso as torna mais seguras do que as chaves estáticas, que são vulneráveis a ataques. É possível usar a programação dinâmica para gerar e manter as chaves atualizadas ao implementar a criptografia de chave dinâmica.
Usando uma técnica conhecida como criptografia baseada em código, é possível criptografar e descriptografar mensagens empregando códigos de correção de erros no processo de fazê-lo. É possível corrigir falhas de transmissão com códigos de correção de erros. O uso de criptografia baseada em código é amplamente considerado como resistente a quantum, pois é seguro contra ataques de computadores quânticos. A programação dinâmica pode ser usada para cifrar e decifrar comunicações usando um sistema criptográfico baseado em código.
Como um método para criptografar e descriptografar dados, a criptografia baseada em programação dinâmica depende de um algoritmo de programação dinâmica. Para lidar com os desafios de otimização, as técnicas de programação dinâmica normalmente particionam o problema em um conjunto de subproblemas mais simples. A criptografia de programação dinâmica usa mochila, caminho mais curto e escultura de costura.
O que é um exemplo do mundo real de programação dinâmica?
Numerosas instâncias de aplicativos de software do mundo real usam programação dinâmica para manter a agilidade e a eficiência enquanto reduzem a pegada de recursos no sistema host. Algumas instâncias são as seguintes:
- Mapas do Google. O Google Maps usa programação dinâmica para encontrar a rota mais rápida de uma determinada origem para vários destinos diferentes.
- Rede. Transferência sequencial de dados de um único remetente para vários destinatários.
- Verificadores ortográficos. O algoritmo de distância de edição determina o número de etapas necessárias para transformar uma palavra em outra e fornece uma medida quantitativa do grau de dissimilaridade entre as duas palavras.
- Software de plágio. Os métodos de distância do documento ajudam a determinar a similaridade do documento de texto.
- Motores de busca. Para determinar o quão semelhantes dois pedaços de conteúdo da Internet realmente são.
Como resolver problemas de programação dinâmica?
Aprender a fórmula para resolver problemas de programação dinâmica é o próximo passo depois de entender o conceito de programação dinâmica. Aqui estão algumas sugestões de como aplicar a programação dinâmica ao problema em questão e chegar a uma solução viável:
#1. Reconhecer o problema de programação dinâmica
A parte mais importante é perceber que um algoritmo de programação dinâmica pode resolver a declaração do problema especificado. Resolver esse problema requer primeiro determinar se cada uma das declarações do problema pode ser dividida em partes menores como uma função.
#2. Determine as causas do problema
Se você já concluiu que a programação dinâmica é a ferramenta certa para o trabalho, o próximo passo é identificar a estrutura recursiva do problema entre seus subproblemas constituintes. Nesse caso, você deve levar em consideração a natureza fluida das condições do problema. Essa variável pode ser uma posição de array ou velocidade de resolução de problemas.
Além disso, contar as partes constituintes do problema é crucial.
#3. Escolha entre um método iterativo e um método recursivo
Para corrigir problemas de programação dinâmica, você pode utilizar abordagens iterativas ou recursivas. Pelo que foi dito até agora, é seguro dizer que o método recursivo é preferível. Todas as considerações acima, no entanto, são independentes, independentemente do método escolhido para resolver o problema.
Tanto a abordagem recursiva quanto a iterativa precisam que você especifique a relação de recorrência e o caso base do problema.
#4. Incorpore um sistema de memorização
Ao abordar um problema com uma estrutura semelhante, pode ser útil relembrar a experiência anterior no tratamento de subproblemas comparáveis. A complexidade de tempo do problema diminuirá como resultado disso. A complexidade de tempo de uma tarefa pode crescer exponencialmente se continuarmos resolvendo os mesmos subproblemas repetidamente sem usar a memorização.
#5. Coloque a relação de recorrência em palavras
Ao resolver um problema, muitos programadores pulam a definição da relação de recorrência e vão direto para a codificação. Você terá uma melhor compreensão do problema e poderá codificá-lo mais rapidamente se puder expressar a relação de recorrência explicitamente antes de começar.
Algoritmo de Programação Dinâmica
A maioria das aplicações de programação dinâmica inclui o algoritmo recursivo. O uso de programação dinâmica para otimização implica que a recursão é intrínseca à maioria dos problemas de otimização.
No entanto, não é possível resolver problemas totalmente recursivos com programação dinâmica. Uma recursão só pode encontrar a solução por uma estratégia de dividir e conquistar, a menos que haja a presença de subproblemas sobrepostos, como no problema da sequência de Fibonacci.
Isso ocorre porque os subproblemas subjacentes em um algoritmo recursivo como Merge Sort não se sobrepõem, descartando o uso de Programação Dinâmica.
Diferentes tipos de algoritmos de programação dinâmica
Aqui estão os diferentes tipos de algoritmos de programação dinâmica.
#1. Subsequência comum mais longa
É possível que os elementos da subsequência comum mais longa (LCS) apareçam em qualquer ordem dentro das sequências originais; o LCS é definido como a subsequência mais longa que é comum a todas as sequências especificadas.
Se duas sequências S1 e S2 são fornecidas, então uma sequência Z que é uma subsequência de S1 e S2 é chamada de subsequência comum. Como requisito adicional, Z deve consistir em uma sequência estritamente ascendente dos índices dos conjuntos S1 e S2.
Os índices dos elementos selecionados em Z devem aumentar rigorosamente para formar uma sequência ascendente.
#2. Algoritmo Floyd-Warshall
Encontrar o caminho mais curto entre cada par de vértices em um grafo ponderado é o objetivo do Algoritmo Floyd-Warshall. Este método processa gráficos com pesos em ambas as direções. Por outro lado, falha para ciclos em que a soma de suas arestas é negativa.
Algoritmo de Floyd, algoritmo de Roy-Floyd, algoritmo de Roy-Warhshall e algoritmo WFI são todos nomes para o algoritmo de Floyd-Warhshall.
Este algoritmo usa uma técnica de programação dinâmica para localizar atalhos ideais.
Como um algoritmo de programação dinâmica resolve problemas de Lcs mais rapidamente do que uma técnica recursiva?
A programação dinâmica reduz a sobrecarga de chamar uma função. Ele lembra o resultado de cada chamada de função para que as chamadas subsequentes possam usar os dados armazenados sem repetir o mesmo trabalho.
Cada vez que um elemento de X é comparado com um elemento de Y, os resultados são escritos em uma tabela para que possam ser utilizados em cálculos posteriores no processo dinâmico mencionado.
Portanto, o tempo de execução de um método dinâmico é igual ao tempo necessário para preencher a tabela (O(mn)). Em contraste, a complexidade do algoritmo recursivo é 2max(m, n). Além disso, leia Como escolher o tipo certo de algoritmo de criptografia para suas necessidades de negócios
Quais são os problemas de programação dinâmica em Python
Utilizando a programação dinâmica, pode-se determinar a solução mais apropriada para qualquer número de declarações de problemas diferentes. A seguir, examinaremos algumas das declarações de problemas famosas solicitadas com mais frequência e forneceremos uma breve explicação junto com o código Python apropriado.
#1. Mochila (0-1) Limitada
Nesta situação, você recebe os preços e pesos de N bens e é encarregado de encaixá-los em uma mochila de capacidade W; o objetivo é minimizar o número de itens escolhidos enquanto ainda cabe tudo na mochila.
A maioria das entrevistas técnicas para organizações de bens exigirá que os candidatos resolvam o problema da mochila, que é um exemplo clássico de uma técnica de programação dinâmica.
Enunciado do problema Suponha que você tenha uma sacola com capacidade W e uma lista de coisas, cada uma com um peso e um lucro correspondente. O objetivo é maximizar os ganhos por meio de um preenchimento ruim eficaz.
A resposta é fazer uma tabela com colunas para cada peso concebível entre 1 e W e linhas para os pesos que você realmente selecionar. Esta tabela será conhecida como dp[][]. Se 'j' for a capacidade da mochila e os primeiros elementos 'i' na matriz peso/item forem incluídos, então o estado /célula dp[i][j] na tabela indica o maior lucro possível.
Como resultado, o valor na célula final significará a solução. É importante levar apenas o que não ultrapassar a restrição de peso da mochila. Existem duas alternativas para o critério “peso>peso[i-1]” onde todas as colunas podem ser preenchidas.
#2. 0/1 Mochila Delimitada Memoização
Encha uma sacola com itens de peso e lucro conhecidos, tamanho K. Seu objetivo é maximizar seus ganhos. Aqui, usaremos memoização em vez de tabulação para ver se podemos resolver o problema.
O problema da mochila 0/1 acima empregou uma estratégia de baixo para cima para descobrir uma solução, enquanto este problema usa uma abordagem de cima para baixo baseada na memorização para obter uma solução.
A programação dinâmica usa a memorização para reduzir a necessidade de resolver as mesmas partes do problema várias vezes. Isso elimina a necessidade de resolver constantemente o subproblema e agiliza o processo de geração de resultados.
Enunciado do problema Suponha que você tenha uma sacola com capacidade W e uma lista de coisas, cada uma com um peso e um lucro correspondente. Se a sacola estiver cheia com o máximo de eficiência possível, pode-se obter o maior nível potencial de lucro.
A solução é primeiro construir uma matriz bidimensional para conter as respostas finais para os subproblemas individuais. As colunas da tabela listarão todos os pesos potenciais entre 1 e W, particionando-os em tantas seções, e as linhas mostrarão os pesos selecionados em cada momento.
Usamos um array dp para acompanhar cada subproblema resolvido. Em vez de resolver um subproblema resolvido anteriormente, apenas retornamos sua resposta.
#3. Problema de Subconjunto Igual
Encontre uma partição do conjunto fornecido de modo que o total de itens em ambos os subconjuntos seja o mesmo usando programação dinâmica para resolver o problema do subconjunto igual. Além de seus outros nomes, a questão do subconjunto igual (ou problema de partição) é uma excelente ilustração do poder da programação dinâmica.
A tarefa em mãos exige que dividamos o array arr ao meio para que cada um dos subconjuntos subsequentes tenha o mesmo tamanho geral.
Como solução, precisamos construir um array bidimensional com dimensões de (soma/2+1)*(alvo+1). Aqui, os resultados da divisão da matriz original podem ser armazenados para cada subconjunto e cada soma e posteriormente recuperados. A primeira dimensão da matriz representará os vários subconjuntos que podem ser criados, enquanto a segunda dimensão da matriz representará as várias somas que podem ser calculadas pela combinação de subconjuntos.
Vantagens da Programação Dinâmica
Aqui estão algumas das vantagens da programação dinâmica.
#1. Remédio eficaz
A programação dinâmica é uma ferramenta poderosa para encontrar soluções ideais para problemas com subestrutura ideal e subproblemas sobrepostos. Ao decompô-los em partes gerenciáveis, esses desafios são mais fáceis de enfrentar com o método. A Programação Dinâmica é capaz de criar uma solução ótima evitando cálculos repetitivos e reutilizando respostas para subproblemas.
#2. Facilita a fácil localização de problemas
Resolver um problema difícil pode ser mais fácil primeiro decompondo-o em partes mais simples. Isso facilita a resolução de problemas complexos, dividindo-os em partes mais gerenciáveis. Este método simplifica a solução e torna o problema mais acessível.
#3. Eficiente
Ao eliminar cálculos desnecessários e reciclar subproblemas resolvidos anteriormente, a Programação Dinâmica pode reduzir significativamente o tempo necessário para resolver um problema. Quando os subproblemas se sobrepõem, o método pode ajudar reduzindo o número total de medidas necessárias para resolver o problema.
#4. Eficaz quando um problema tem várias soluções
A Programação Dinâmica pode ajudar a determinar qual das várias explicações possíveis é mais provável. Quando há várias opções viáveis para corrigir um problema, esse método pode nos ajudar a encontrar a melhor.
Quais são as desvantagens da programação dinâmica?
Aqui estão algumas das desvantagens da programação dinâmica.
#1. Sub-problemas que continuam recorrentes
A programação dinâmica funciona melhor quando o problema tem subproblemas sobrepostos, o que nem sempre é o caso. Não vai funcionar e provavelmente não fornecerá a melhor solução se os problemas individuais não se cruzarem.
#2. Complicação no tempo e no espaço
Se o problema for grande, a Programação Dinâmica pode exigir muita memória e espaço de armazenamento, o que aumenta a complexidade de tempo e espaço da solução. Usando a memória, a abordagem armazena os resultados provisórios em uma tabela ou tabela de memorização.
#3. Estrutura para o problema
Embora eficaz para certas estruturas de problemas, a Programação Dinâmica nem sempre é a melhor escolha. Este método funciona melhor quando o problema tem subproblemas sobrepostos, portanto, pode não ser aplicável a outras situações.
#4. Difícil de colocar em prática
A programação dinâmica precisa de um conhecimento profundo de algoritmos e estruturas de dados, o que a torna desafiadora para iniciantes. O método requer reflexão prévia e profunda familiaridade com o assunto em questão.
ponto de partida
Em conclusão, a Programação Dinâmica é um método eficaz para encontrar respostas, embora outras abordagens sejam preferíveis. É crucial conhecer os prós e os contras e escolher o método certo de acordo com o problema em questão. Para problemas com subestrutura ótima e subproblemas sobrepostos, a Programação Dinâmica pode produzir uma solução ótima; no entanto, esse método nem sempre pode ser aplicável.
Embora seja difícil de desenvolver e use muita memória, sua capacidade de agilizar o processo de solução de problemas e reduzir os tempos de computação o torna um recurso significativo para cientistas da computação e matemáticos.
Perguntas frequentes sobre programação dinâmica
Qual é a diferença entre programação linear e programação dinâmica?
Para problemas de otimização linear, temos o algoritmo de programação linear (PL), e para problemas genéricos de otimização não linear com restrições não convexas, temos a programação dinâmica (DP), que garante a otimalidade global de uma solução.
Quão difícil é aprender programação dinâmica?
É do conhecimento comum que a programação dinâmica é um assunto complexo, especialmente para iniciantes no campo da ciência da computação. No entanto, pode-se aprender programação dinâmica com facilidade com uma compreensão firme dos princípios fundamentais e ampla prática.
A programação dinâmica é muito difícil?
Eles são difíceis! Para começar, a ideia de métodos de programação dinâmica pode ser difícil de entender. Qualquer programador especialista atestaria que o domínio do DP requer um compromisso de tempo significativo. A habilidade de decompor um problema em suas partes constituintes e remontá-lo em um todo viável também é necessária.
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Referência
