L'addizione binaria viene eseguita sommando le cifre a partire dal lato destro dei numeri, nello stesso modo in cui vengono sommati due o più numeri interi in base 10. I valori posizionali nell'addizione binaria sono dati come uno, due, quattro, otto, sedici e così via. Iniziamo sommando le cifre nella colonna delle unità, poi andiamo a sinistra, aggiungendo le cifre nella colonna dei due, poi le cifre nella colonna dei quattro, e così via. L'unica differenza è che ci raggruppiamo qui quando la somma delle cifre supera 1. Impariamo di più sulle regole che guidano l'addizione binaria, così come il concetto di overflow, in questo articolo.
Cos'è l'addizione binaria?
A parte il fatto che si tratta di un sistema in base 2, l'operazione di addizione binaria funziona in modo identico al sistema decimale in base 10. Il sistema binario ha solo due cifre, 1 e 0. Viene utilizzato per la maggior parte delle funzioni del sistema informatico. Il codice binario utilizza le cifre 1 e 0 per attivare e disattivare specifici processi. Passando alla base 2, il processo di addizione è estremamente simile al sistema decimale.
Prima di iniziare la procedura di addizione binaria, capiamo innanzitutto come funziona il posto nel sistema di numeri binari. Perché l'operazione binaria viene eseguita dalla maggior parte dei computer digitali e dei circuiti elettronici attuali esprimendo ogni bit come segnale di tensione. Il bit 0 indica lo stato "OFF", mentre il bit 1 indica lo stato "ON".
Una delle operazioni aritmetiche sui numeri binari o sui sistemi numerici in base 2 è l'aggiunta di due o più numeri binari. Quando aggiungiamo 3 + 2 in aggiunta decimale, otteniamo 5. Allo stesso modo, sommando i loro equivalenti binari, (11)2 e (10)2, si ottiene (11)2 + (10)2 = (101)2, che è 5 in base-10. I risultati dell'addizione binaria e decimale danno lo stesso risultato; l'unica differenza è nei valori posizionali delle cifre. La procedura dell'addizione binaria ti sembrerà abbastanza familiare; l'unica differenza è che nel sistema dei numeri decimali, una volta raggiunta la somma delle cifre più di 9, raggruppiamo il valore della posizione successiva poiché il sistema decimale utilizza dieci cifre da 0 a 9. Tuttavia, quando combiniamo i numeri binari, raggruppiamo il valore della posizione successiva quando la somma delle cifre supera 1 perché il sistema numerico binario consente solo due cifre, 0 e 1.
Regole di addizione binaria
L'addizione binaria è molto più semplice dell'addizione decimale quando ricordi i seguenti trucchi o regole. Utilizzando queste regole, è possibile aggiungere facilmente qualsiasi numero binario. Le quattro regole dell'addizione binaria sono:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Come si fa l'addizione binaria?
I numeri binari, che utilizzano le cifre 0 e 1, vengono utilizzati nei computer per memorizzare e rappresentare i dati. Durante l'apprendimento dell'addizione binaria sorgono due casi, e sono i seguenti:
- Addizione binaria senza raggruppamento
- Addizione binaria con raggruppamento
Aggiunta di valori binari senza raggruppamento
Quando la somma di due cifre è 0 o 1, non è necessario raggruppare quando si aggiungono due o più valori binari. Aggiungiamo (101)2 e (10)2, che sono rispettivamente gli equivalenti binari di 5 e 2.
Passo 1: Scrivi tutte le cifre di entrambi i numeri in colonne separate secondo i loro valori posizionali.
1 0 1
+ 1 0
----
----
Passo 2: Inizia dalle cifre della colonna più a destra, 1 e 0. Applica una delle regole dell'addizione binaria che dice 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
Passo 3: Passa alla colonna successiva a sinistra. Qui abbiamo due cifre 0 e 1. Guarda le regole sopra riportate e scopri quale regola verrà applicata qui. Applica una delle regole di addizione binaria che dice 0 + 1 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1/1
----
Passo 4: Ora, nell'ultima colonna, ne rimane solo 1, quindi possiamo applicare la regola, 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
Quindi, sommando (101)2 con (10)2, otteniamo (111)2 come risposta finale.
Addizione binaria con raggruppamento
Quando la somma di due o più cifre binarie produce più di 0 o 1, è necessario il raggruppamento. Per capirlo meglio, aggiungiamo gli interi binari (1001)2 e (111)2.
Passo 1: Scrivi tutte le cifre di entrambi i numeri binari in una colonna separata in base ai loro valori posizionali come mostrato di seguito
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Passaggio 2: partendo dalla colonna più a destra, aggiungi 1 e 1. Segui le regole di addizione binaria che dicono 1 + 1 = 10. Ciò equivale a 2₁₀. Quindi, scriveremo 0 in fondo e due prenderanno 1 come riporto al valore di posizione successivo.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Passaggio 3: passa alla colonna successiva a sinistra. Segui le regole di addizione binaria che dicono 1 + 0 + 1 = 10. Anche questo è equivalente a 2₁₀. Quindi, scriveremo 0 in fondo e due prenderanno 1 come riporto al valore di posizione successivo.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0
Passaggio 4: passa di nuovo alla colonna successiva a sinistra. Segui le regole di addizione binaria che dicono 1 + 1 + 0 = 10. Anche questo è equivalente a 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Passaggio 5: passa di nuovo alla colonna successiva a sinistra. Segui le regole di addizione binaria che dicono 1 + 1 + 0 = 10. Anche questo è equivalente a 2₁₀. Poiché è l'ultima colonna rimasta, non prenderemo 1 come riporto, invece scriveremo 10 come risultato in fondo.
1 1 1
1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Pertanto, \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Tabella delle addizioni binarie
Di seguito è riportata la tabella per la somma di due numeri binari 0 e 1:
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (dove 1 viene riportato) |
Puoi vedere da questa tabella che x e y sono i due numeri binari. Quindi, quando diamo l'input per x = 0 e y = 0, allora l'output è uguale a 0. Quando x = 0 o 1 e y = 1 o 0, allora x+y = 1. Ma quando sia x che y sono uguale a 1, allora la loro addizione è uguale a 0, ma il numero di riporto sarà uguale a 1, il che significa sostanzialmente 1 + 1 = 10 in addizione binaria, dove 1 viene riporto alla cifra successiva.
Esempi di addizione binaria
Alcuni esempi di addizioni binarie sono i seguenti:
Esempio 1: 10001 + 11101
Soluzione:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Esempio 2: 10111 + 110001
Soluzione:
1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Addizione binaria usando il complemento a 1
- Il numero 0 rappresenta il segno positivo
- Il numero 1 rappresenta il segno negativo
Aggiunta di numeri positivi e negativi
Caso 1: Quando un numero positivo ha una grandezza maggiore
Prendi il complemento a 1 del numero negativo e il riporto viene aggiunto alla somma risultante al posto dell'1. Quando aggiungi il riporto con il risultante, otterrai il valore della somma.
Esempio:
+ 1111 e -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (prendendo il complemento a 1)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
Pertanto, la soluzione è + 0010.
- Caso 2: Quando un numero negativo ha una grandezza maggiore
Prendi il complemento a 1 del numero negativo e in questo caso non ci sarà alcun riporto finale. Infine, la somma si ottiene prendendo il complemento a 1 della risultante.
Esempio:
+ 1111 e -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (prendendo il complemento a 1)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (prendendo il complemento a 1)
Addizione di due numeri negativi
Prendi il complemento a 1 di entrambi i numeri negativi e poi aggiungi. Apparirà la fine intorno al trasporto e genererà un numero 1 nel bit di segno. Il valore della somma può essere ottenuto prendendo il complemento a 1 della risultante.
Esempio:
- -1010 e – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (prendendo il complemento a 1)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (prendendo il complemento a 1)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (prendendo il complemento a 1)
Pertanto la soluzione è - 1101
Overflow nell'addizione binaria
L'overflow in un'addizione binaria sembra spesso essere un'ultima generazione di riporto. L'overflow, d'altra parte, si traduce in una somma imprecisa, mentre il carry no. Se non compreso correttamente, questo può lasciare un po' perplessi. Quindi, diamo una solida comprensione della nozione di overflow.
Supponi di avere una tazza da tè mezza piena. Il tuo conoscente ha un contenitore contenente del tè. Vuole sapere quanto tè avete in totale. Di conseguenza, versa il suo tè nella tua tazza. Tuttavia, il volume complessivo del tè è maggiore della dimensione della tua tazza. Quando il tuo amico ha versato il suo tè nella tua tazza, la bevanda ha cominciato a traboccare. La cosa fondamentale da ricordare qui è che se versi più della capacità del contenitore, traboccherà. Questo è analogo all'idea di overflow nell'addizione binaria.
Facciamo un esempio per capirlo.
Spiegazione dell'overflow
Nell'esempio precedente, eseguiamo l'addizione 120 + 62. La risposta dovrebbe essere 182, come illustrato nel diagramma sopra. L'addizione binaria, invece, non ha prodotto la somma corretta. Ora, anche se abbiamo obbedito alle leggi fondamentali dell'aritmetica binaria, cerchiamo di capire dove le cose sono andate storte.
Abbiamo utilizzato una rappresentazione dei numeri in complemento a 8 a 2 bit. Ogni numero (120, 62) può essere espresso utilizzando 7 bit di grandezza, con un bit rimasto per il segno ("0" per entrambi). Tuttavia, la grandezza del risultato (182 => 10110110) richiede 8 bit. Poiché si tratta di una codifica a 2 bit in complemento a 8, il bit di segno è l'ottavo bit del totale. Poiché il bit di segno nel totale è '8', è un numero negativo. Inoltre, la dimensione della somma è imprecisa. Il totale calcolato è ora -1, quando il risultato effettivo è 74. Che cosa ha causato ciò?
Ciò si è verificato perché 182 è al di fuori dell'intervallo di numeri con segno che possono essere rappresentati da 8 bit binari. La somma generata, 182, richiede 9 bit per essere accuratamente rappresentata nel formato complemento a 2. Quando iniziamo con due valori di n bit e la somma occupa n+1 bit, otteniamo un overflow. Nei computer, l'overflow è un problema perché il numero di bit che contengono un numero è finito e un risultato che supera il valore finito di uno non può essere gestito.
Overflow vs Carryout finale
Filosoficamente, overflow e carry-out sono sinonimi. Entrambi implicano che la soluzione non rientra nell'area assegnata. Quando viene eseguito il bit più significativo, viene generato l'esecuzione. Quando c'è un riporto nel bit più significativo, si verifica l'overflow.
Può essere visto nel caso dell'aritmetica dei numeri senza segno. Tuttavia, la somma non viene modificata durante la generazione dell'esecuzione. La bandiera di riporto è stata alzata. Il contenuto del registro che contiene il risultato, insieme al riporto, danno la somma corretta.
L'overflow si verifica nella situazione dell'aritmetica dei numeri con segno. L'importo, tuttavia, viene danneggiato a causa della formazione di troppo pieno. Il flag di overflow è impostato, a indicare che il risultato è errato.
In conclusione,
L'addizione binaria è una delle operazioni di base dei sistemi binari. Come già sappiamo, il termine “Operazione binaria” si riferisce alle operazioni matematiche fondamentali che vengono eseguite su due operandi. L'addizione binaria viene eseguita sommando le cifre a partire dal lato destro dei numeri, nello stesso modo in cui vengono sommati due o più numeri interi in base 10.
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Riferimenti
