L'addition binaire est effectuée en ajoutant les chiffres à partir du côté droit des nombres, de la même manière que deux entiers de base 10 ou plus sont ajoutés. Les valeurs de position dans l'addition binaire sont données sous la forme d'unités, de deux, de quatre, de huit, de seize, etc. Nous commençons par additionner les chiffres de la colonne des uns, puis allons vers la gauche, en ajoutant les chiffres de la colonne des deux, puis les chiffres de la colonne des quatre, et ainsi de suite. La seule différence est qu'on se regroupe ici lorsque la somme des chiffres dépasse 1. Apprenons-en plus sur les règles guidant l'addition binaire, ainsi que sur la notion de débordement, dans cet article.
Qu'est-ce que l'addition binaire ?
Sauf qu'il s'agit d'un système en base 2, l'opération d'addition binaire fonctionne de manière identique au système décimal en base 10. Le système binaire n'a que deux chiffres, 1 et 0. Il est utilisé pour la majorité des fonctions du système informatique. Le code binaire utilise les chiffres 1 et 0 pour activer et désactiver des processus spécifiques. En passant à la base 2, le processus d'addition est extrêmement similaire au système décimal.
Avant de commencer la procédure d'addition binaire, nous comprenons d'abord comment fonctionne la place dans le système de numération binaire. Parce que l'opération binaire est effectuée par la plupart des ordinateurs numériques et circuits électroniques actuels en exprimant chaque bit sous la forme d'un signal de tension. Le bit 0 indique l'état "OFF", tandis que le bit 1 indique l'état "ON".
L'une des opérations arithmétiques sur les nombres binaires ou les systèmes de numération en base 2 consiste à additionner deux nombres binaires ou plus. Lorsque nous additionnons 3 + 2 en décimal, nous obtenons 5. De même, en additionnant leurs équivalents binaires, (11)2 et (10)2, on obtient (11)2 + (10)2 = (101)2, soit 5 en base 10. Les résultats de l'addition binaire et décimale donnent la même réponse ; la seule différence réside dans les valeurs de position des chiffres. La procédure d'addition binaire vous semblera assez familière ; la seule différence est que dans le système décimal, une fois que nous atteignons la somme des chiffres supérieurs à 9, nous regroupons la valeur de position suivante puisque le système décimal utilise dix chiffres de 0 à 9. Cependant, lors de la combinaison de nombres binaires, nous regroupons la valeur de position suivante lorsque la somme des chiffres dépasse 1 car le système de numération binaire n'autorise que deux chiffres, 0 et 1.
Règles d'addition binaire
L'addition binaire est beaucoup plus facile que l'addition décimale lorsque vous vous souvenez des astuces ou des règles suivantes. En utilisant ces règles, n'importe quel nombre binaire peut être facilement ajouté. Les quatre règles de l'addition binaire sont :
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Comment faites-vous l'addition binaire?
Les nombres binaires, qui utilisent les chiffres 0 et 1, sont utilisés dans les ordinateurs pour stocker et représenter des données. Deux cas se présentent lors de l'apprentissage de l'addition binaire, et ils sont les suivants :
- Addition binaire sans regroupement
- Addition binaire avec regroupement
Addition de valeurs binaires sans regroupement
Lorsque la somme de deux chiffres est 0 ou 1, nous n'avons pas besoin de regrouper lors de l'addition de deux valeurs binaires ou plus. Ajoutons (101)2 et (10)2, qui sont respectivement les équivalents binaires de 5 et 2.
Étape 1: Écrivez tous les chiffres des deux nombres dans des colonnes séparées selon leurs valeurs de position.
+1 (0)1
+ 1 0
----
----
Étape 2: Commencez par les chiffres de la colonne la plus à droite, 1 et 0. Appliquez l'une des règles de l'addition binaire qui dit 1 + 0 = 1.
+1 (0)1
+ 1 0
----
1
----
Étape 3: Passez à la colonne suivante à gauche. Ici, nous avons deux chiffres 0 et 1. Regardez les règles données ci-dessus et découvrez quelle règle sera appliquée ici. Appliquez l'une des règles d'addition binaire qui dit 0 + 1 = 1.
+1 (0)1
+ 1 0
----
+1 (1)XNUMX XNUMX
----
Étape 4: Maintenant, dans la dernière colonne, il ne nous reste plus que 1, nous pouvons donc appliquer la règle, 1 + 0 = 1.
+1 (0)1
+ 1 0
----
+1 (1)1
----
Par conséquent, en ajoutant (101)2 à (10)2, nous obtenons (111)2 comme réponse finale.
Addition binaire avec regroupement
Lorsque la somme de deux chiffres binaires ou plus donne plus de 0 ou 1, un regroupement est nécessaire. Pour mieux l'appréhender, ajoutons les entiers binaires (1001)2 et (111)2.
Étape 1 : Écrivez tous les chiffres des deux nombres binaires dans une colonne séparée en fonction de leurs valeurs de position, comme indiqué ci-dessous
1 0 0 1
+ 1 1 1
..........
Étape 2 : En partant de la colonne la plus à droite, additionnez 1 et 1. Suivez les règles d'addition binaire qui disent 1 + 1 = 10. Cela équivaut à 2₁₀. Par conséquent, nous écrirons 0 en bas et deux prendront 1 comme report à la valeur de position suivante.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
..........
0
Étape 3 : Passez à la colonne suivante à gauche. Suivez les règles d'addition binaire qui disent 1 + 0 + 1 = 10. Cela équivaut à nouveau à 2₁₀. Par conséquent, nous écrirons 0 en bas et deux prendront 1 comme report à la valeur de position suivante.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
..........
0 0
Étape 4 : Passez à nouveau à la colonne suivante à gauche. Suivez les règles d'addition binaire qui disent 1 + 1 + 0 = 10. Cela équivaut à nouveau à 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
..........
0 0 0
Étape 5 : Passez à nouveau à la colonne suivante à gauche. Suivez les règles d'addition binaire qui disent 1 + 1 + 0 = 10. Cela équivaut à nouveau à 2₁₀. Comme il s'agit de la dernière colonne à gauche, nous ne prendrons pas 1 comme report, à la place, nous écrirons 10 comme résultat en bas.
+1 (1)1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Par conséquent, \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Table d'addition binaire
Le tableau pour additionner deux nombres binaires 0 et 1 est donné ci-dessous :
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (où 1 est reporté) |
Vous pouvez voir sur ce tableau que x et y sont les deux nombres binaires. Ainsi, lorsque nous donnons l'entrée pour x = 0 et y = 0, alors la sortie est égale à 0. Lorsque x = 0 ou 1 et y = 1 ou 0, alors x + y = 1. Mais lorsque x et y sont égal à 1, alors leur addition est égale à 0, mais le nombre de report sera égal à 1, ce qui signifie essentiellement 1 + 1 = 10 en addition binaire, où 1 est reporté au chiffre suivant.
Exemples d'addition binaire
Voici quelques exemples d'additions binaires :
1 Exemple: 10001 + 11101
Solution:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
2 Exemple: 10111 + 110001
Solution:
+1 (1)1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Addition binaire utilisant le complément à 1
- Le nombre 0 représente le signe positif
- Le nombre 1 représente le signe négatif
Addition de nombre positif et négatif
Cas 1 : lorsqu'un nombre positif a une magnitude supérieure
Prenez le complément à 1 du nombre négatif et le report est ajouté à la somme résultante à la place du 1. Lorsque vous ajoutez le report avec le résultat, vous obtiendrez la valeur de la somme.
Mise en situation :
+ 1111 et -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (en prenant le complément à 1)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
La solution est donc + 0010.
- Cas 2 : Lorsqu'un nombre négatif a une magnitude supérieure
Prenez le complément à 1 du nombre négatif, et il n'y aura pas de report de bout en bout dans ce cas. Enfin, la somme est obtenue en prenant le complément à 1 de la résultante.
Mise en situation :
+ 1111 et -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (en prenant le complément à 1)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (en prenant le complément à 1)
Addition de deux nombres négatifs
Prenez le complément à 1 des deux nombres négatifs, puis additionnez. La fin autour du transport apparaîtra et générera un nombre 1 dans le bit de signe. La valeur somme peut être obtenue en prenant le complément à 1 de la résultante.
Mise en situation :
- -1010 et – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (en prenant le complément à 1)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (en prenant le complément à 1)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (en prenant le complément à 1)
Donc la solution est - 1101
Débordement dans l'addition binaire
Le débordement dans une addition binaire apparaît fréquemment comme une dernière génération de report. Le débordement, en revanche, entraîne une somme inexacte, contrairement au report. S'il n'est pas bien compris, cela peut être un peu déroutant. Alors, saisissons bien la notion de débordement.
Supposons que vous ayez une tasse de thé à moitié pleine. Votre connaissance a un récipient contenant du thé. Il veut savoir combien de thé vous et lui avez au total. Du coup, il verse son thé dans votre tasse. Cependant, le volume global de thé est supérieur à la taille de votre tasse. Lorsque votre ami a versé son thé dans votre tasse, la boisson a commencé à se renverser. La chose cruciale à retenir ici est que si vous versez plus que la capacité du récipient, il débordera. Ceci est analogue à l'idée de débordement dans l'addition binaire.
Prenons un exemple pour comprendre cela.
Débordement expliqué
Dans l'exemple précédent, nous exécutons l'addition 120 + 62. La réponse devrait être 182, comme illustré dans le schéma ci-dessus. L'addition binaire, en revanche, n'a pas produit la somme correcte. Maintenant, même si nous avons obéi aux lois de base de l'arithmétique binaire, découvrons où les choses se sont mal passées.
Nous avons utilisé une représentation des nombres en complément à 8 sur 2 bits. Chaque nombre (120, 62) peut être exprimé en utilisant 7 bits de magnitude, avec un bit restant pour le signe ("0" pour les deux). Cependant, la magnitude du résultat (182 => 10110110) nécessite 8 bits. Comme il s'agit d'un codage 2 bits en complément à 8, le bit de signe est le 8ème bit du total. Étant donné que le bit de signe dans le total est '1', il s'agit d'un nombre négatif. De plus, la taille de la somme est imprécise. Le total calculé est maintenant de -74, alors que le résultat réel est de 182. Qu'est-ce qui a causé cela ?
Cela s'est produit parce que 182 est en dehors de la plage de nombres signés qui peuvent être représentés par 8 bits binaires. La somme générée, 182, nécessite 9 bits pour être représentée avec précision au format complément à 2. Lorsque nous partons de deux valeurs de n bits et que la somme occupe n+1 bits, nous obtenons un débordement. Dans les ordinateurs, le débordement est un problème car le nombre de bits contenant un nombre est fini et un résultat qui dépasse la valeur finie de un ne peut pas être géré.
Débordement vs réalisation finale
Philosophiquement, débordement et emportement sont synonymes. Les deux impliquent que la solution ne rentre pas dans la zone allouée. Lorsque le bit le plus significatif est exécuté, l'exécution est générée. Lorsqu'il y a un report dans le bit le plus significatif, le débordement se produit.
On peut le voir dans le cas de l'arithmétique des nombres non signés. Cependant, la somme n'est pas modifiée lors de la génération de l'exécution. Le drapeau de portage a été hissé. Le contenu du registre contenant le résultat, ainsi que le report, donnent la somme appropriée.
Le débordement se produit dans la situation de l'arithmétique des nombres signés. Le montant, cependant, devient endommagé à la suite de la formation de débordement. L'indicateur de débordement est défini, indiquant que le résultat est erroné.
En conclusion,
L'addition binaire est l'une des opérations de base des systèmes binaires. Comme nous le savons déjà, le terme « opération binaire » fait référence aux opérations mathématiques fondamentales qui sont effectuées sur deux opérandes. L'addition binaire est effectuée en ajoutant les chiffres à partir du côté droit des nombres, de la même manière que deux entiers de base 10 ou plus sont ajoutés.
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Bibliographie
