Die binäre Addition wird durchgeführt, indem die Ziffern beginnend mit der rechten Seite der Zahlen addiert werden, genauso wie zwei oder mehr ganze Zahlen zur Basis 10 addiert werden. Die Stellenwerte in der binären Addition werden als Einsen, Zweien, Vieren, Achten, Sechzehner usw. angegeben. Wir beginnen mit dem Addieren der Ziffern in der Einerspalte, gehen dann nach links, addieren die Ziffern in der Zweierspalte, dann die Ziffern in der Viererspalte und so weiter. Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir hier neu gruppieren, wenn die Summe der Ziffern 1 überschreitet. Lassen Sie uns in diesem Artikel mehr über die Regeln der binären Addition sowie das Konzept des Überlaufs erfahren.
Was ist binäre Addition?
Abgesehen davon, dass es sich um ein System zur Basis 2 handelt, funktioniert die binäre Additionsoperation genauso wie das Dezimalsystem zur Basis 10. Das Binärsystem hat nur zwei Ziffern, 1 und 0. Es wird für die meisten Computersystemfunktionen verwendet. Der Binärcode verwendet die Ziffern 1 und 0, um bestimmte Prozesse ein- und auszuschalten. Durch den Wechsel zur Basis 2 ist der Vorgang der Addition dem Dezimalsystem sehr ähnlich.
Bevor wir mit der binären Addition beginnen, verstehen wir zunächst, wie die Stelle im binären Zahlensystem funktioniert. Weil die binäre Operation von den meisten aktuellen Digitalcomputern und elektronischen Schaltungen durchgeführt wird, indem jedes Bit als Spannungssignal ausgedrückt wird. Bit 0 bezeichnet den „AUS“-Zustand, während Bit 1 den „EIN“-Zustand bezeichnet.
Eine der arithmetischen Operationen mit Binärzahlen oder Basis-2-Zahlensystemen ist das Addieren von zwei oder mehr Binärzahlen. Wenn wir 3 + 2 in der Dezimaladdition addieren, erhalten wir 5. In ähnlicher Weise ergibt die Addition ihrer binären Äquivalente (11)2 und (10)2 (11)2 + (10)2 = (101)2, was 5 ist in Basis-10. Die Ergebnisse der binären und dezimalen Addition ergeben die gleiche Antwort; Der einzige Unterschied besteht in den Stellenwerten der Ziffern. Das Verfahren der binären Addition wird Ihnen ziemlich bekannt vorkommen; Der einzige Unterschied besteht darin, dass wir im Dezimalsystem, sobald wir die Summe der Ziffern größer als 9 erreichen, den nächsten Stellenwert neu gruppieren, da das Dezimalsystem zehn Ziffern von 0 bis 9 verwendet. Wenn wir jedoch Binärzahlen kombinieren, gruppieren wir neu der nächste Stellenwert, wenn die Summe der Ziffern 1 überschreitet, da das binäre Zahlensystem nur zwei Ziffern, 0 und 1, zulässt.
Regeln der binären Addition
Die binäre Addition ist viel einfacher als die dezimale Addition, wenn Sie sich an die folgenden Tricks oder Regeln erinnern. Mit diesen Regeln kann jede binäre Zahl einfach hinzugefügt werden. Die vier Regeln der binären Addition sind:
- 0 + 0 = 0
- 0 + 1 = 1
- 1 + 0 = 1
- 1 + 1 = 10
Wie führt man eine binäre Addition durch?
Binärzahlen, die die Ziffern 0 und 1 verwenden, werden in Computern zum Speichern und Darstellen von Daten verwendet. Beim Erlernen der binären Addition treten zwei Fälle auf, und zwar wie folgt:
- Binäre Addition ohne Umgruppierung
- Binäre Addition mit Umgruppierung
Addition von Binärwerten ohne Umgruppierung
Wenn die Summe zweier Ziffern 0 oder 1 ist, müssen wir beim Addieren von zwei oder mehr Binärwerten nicht neu gruppieren. Lassen Sie uns (101)2 und (10)2 hinzufügen, die die binären Äquivalente von 5 bzw. 2 sind.
Schritt 1: Schreiben Sie alle Ziffern der beiden Zahlen gemäß ihrer Stellenwerte in getrennte Spalten.
1 0 1
+ 1 0
----
----
Schritt 2: Beginnen Sie mit den Ziffern der Spalte ganz rechts, 1 und 0. Wenden Sie eine der Regeln der binären Addition an, die besagt, dass 1 + 0 = 1 ist.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
Schritt 3: Wechseln Sie zur nächsten Spalte nach links. Hier haben wir zwei Ziffern 0 und 1. Sehen Sie sich die oben angegebenen Regeln an und finden Sie heraus, welche Regel hier angewendet wird. Wende eine der binären Additionsregeln an, die besagt, dass 0 + 1 = 1 ist.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
Schritt 4: Jetzt haben wir in der letzten Spalte nur noch 1 übrig, also können wir die Regel anwenden, 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
Wenn wir also (101)2 mit (10)2 addieren, erhalten wir (111)2 als endgültige Antwort.
Binäre Addition mit Umgruppierung
Wenn die Summe von zwei oder mehr Binärziffern mehr als 0 oder 1 ergibt, ist eine Umgruppierung erforderlich. Um es besser zu verstehen, fügen wir binäre Ganzzahlen (1001)2 und (111)2 hinzu.
Schritt 1: Schreiben Sie alle Ziffern der beiden Binärzahlen entsprechend ihrer Stellenwerte in eine separate Spalte, wie unten gezeigt
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
Schritt 2: Beginnen Sie in der Spalte ganz rechts und addieren Sie 1 und 1. Befolgen Sie die binären Additionsregeln, die 1 + 1 = 10 besagen. Dies entspricht 2₁₀. Daher schreiben wir unten 0 und zwei nehmen 1 als Übertrag auf den nächsten Stellenwert.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
Schritt 3: Gehen Sie zur nächsten Spalte nach links. Befolgen Sie die binären Additionsregeln, die 1 + 0 + 1 = 10 besagen. Dies entspricht wiederum 2₁₀. Daher schreiben wir unten 0 und zwei nehmen 1 als Übertrag auf den nächsten Stellenwert.
1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0
Schritt 4: Gehen Sie wieder zur nächsten Spalte nach links. Befolgen Sie die binären Additionsregeln, die 1 + 1 + 0 = 10 besagen. Dies entspricht wiederum 2₁₀.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0 0 0
Schritt 5: Gehen Sie wieder zur nächsten Spalte nach links. Befolgen Sie die binären Additionsregeln, die 1 + 1 + 0 = 10 besagen. Dies entspricht wiederum 2₁₀. Da es die letzte linke Spalte ist, nehmen wir nicht 1 als Übertrag, sondern schreiben 10 als Ergebnis ganz unten.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
Also \[1001_{2} + 111_{2} = 10000_{2}\]
Binäre Additionstabelle
Die Tabelle zum Addieren von zwei Binärzahlen 0 und 1 ist unten angegeben:
| x | y | x + y |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (wobei 1 übernommen wird) |
Sie können aus dieser Tabelle ersehen, dass x und y die beiden Binärzahlen sind. Wenn wir also die Eingabe für x = 0 und y = 0 geben, dann ist die Ausgabe gleich 0. Wenn x = 0 oder 1 und y = 1 oder 0, dann ist x+y = 1. Aber wenn sowohl x als auch y sind gleich 1, dann ist ihre Addition gleich 0, aber die Übertragszahl ist gleich 1, was im Grunde 1 + 1 = 10 in der binären Addition bedeutet, wobei 1 zur nächsten Ziffer übertragen wird.
Beispiele für binäre Addition
Einige Beispiele für binäre Additionen sind wie folgt:
Beispiel 1: 10001 + 11101
Lösung:
1
+1 0 0 0
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
Beispiel 2: 10111 + 110001
Lösung:
1 1 1
+1 0 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
Binäre Addition mit dem 1er-Komplement
- Die Anzahl 0 stellt das positive Vorzeichen dar
- Die Anzahl 1 stellt das negative Vorzeichen dar
Addition von positiver und negativer Zahl
Fall 1: Wenn eine positive Zahl einen größeren Betrag hat
Nehmen Sie das 1er-Komplement der negativen Zahl, und der Übertrag wird zur resultierenden Summe an der 1er-Stelle hinzugefügt. Wenn Sie den Übertrag mit dem Ergebnis addieren, erhalten Sie den Summenwert.
Beispiel:
+ 1111 und -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
– 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (1er-Komplement bilden)
-------
+0 0 0 0
1
-------
+0 0 0 1
Daher ist die Lösung + 0010.
- Fall 2: Wenn eine negative Zahl einen größeren Betrag hat
Nehmen Sie das 1er-Komplement der negativen Zahl, und in diesem Fall gibt es keinen Endumlauf. Schließlich wird die Summe erhalten, indem das 1er-Komplement der Resultierenden gebildet wird.
Beispiel:
+ 1111 und -1101
– 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (1er-Komplement bilden)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (1er-Komplement)
Addition zweier negativer Zahlen
Nimm das 1er-Komplement der beiden negativen Zahlen und addiere dann. Das Ende um das Tragen wird erscheinen und es wird eine Zahl 1 im Vorzeichenbit erzeugen. Der Summenwert kann erhalten werden, indem das 1er-Komplement der Resultierenden gebildet wird.
Beispiel:
- -1010 und – 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (1er-Komplement)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (1er-Komplement)
---------
+1 0 0 0
1
----------
+1 0 0 1
----------
1 1 1 0 1 (1er-Komplement)
Daher lautet die Lösung – 1101
Überlauf bei binärer Addition
Der Überlauf in einer binären Addition scheint häufig eine letzte Übertragserzeugung zu sein. Überlauf hingegen führt zu einer ungenauen Summe, Carry hingegen nicht. Wenn es nicht richtig verstanden wird, kann dies ein wenig verwirrend sein. Lassen Sie uns also den Überlaufbegriff fest im Griff haben.
Angenommen, Sie haben eine halbvolle Teetasse. Ihr Bekannter hat einen Behälter mit etwas Tee. Er möchte wissen, wie viel Tee Sie und er insgesamt haben. Als Ergebnis gießt er seinen Tee in Ihre Tasse. Das Gesamtvolumen des Tees ist jedoch größer als die Größe Ihrer Tasse. Als Ihr Freund seinen Tee in Ihre Tasse goss, begann das Getränk zu verschütten. Das Entscheidende, an das Sie sich hier erinnern sollten, ist, dass, wenn Sie mehr als das Fassungsvermögen des Behälters einfüllen, dieser überläuft. Dies ist analog zur Überlaufidee bei der binären Addition.
Nehmen wir ein Beispiel, um dies zu verstehen.
Überlauf erklärt
Im vorigen Beispiel führen wir die Addition 120 + 62 aus. Das Ergebnis sollte 182 lauten, wie im Diagramm oben dargestellt. Die binäre Addition hingegen ergab nicht die richtige Summe. Nun, obwohl wir die Grundgesetze der binären Arithmetik befolgt haben, wollen wir herausfinden, wo etwas schief gelaufen ist.
Wir haben eine 8-Bit-2er-Komplement-Darstellung von Zahlen verwendet. Jede Zahl (120, 62) kann mit 7 Größenbits ausgedrückt werden, wobei ein Bit für das Vorzeichen übrig bleibt ('0' für beide). Die Größe des Ergebnisses (182 => 10110110) erfordert jedoch 8 Bit. Da es sich um eine Zweierkomplement-2-Bit-Codierung handelt, ist das Vorzeichenbit das 8. Bit der Gesamtzahl. Da das Vorzeichenbit in der Summe '8' ist, ist es eine negative Zahl. Außerdem ist die Höhe der Summe ungenau. Die berechnete Summe ist jetzt -1, wenn das tatsächliche Ergebnis 74 ist. Was hat dies verursacht?
Dies geschah, weil 182 außerhalb des Bereichs von vorzeichenbehafteten Zahlen liegt, die durch 8 binäre Bits dargestellt werden können. Die erzeugte Summe 182 erfordert 9 Bits, um genau im Zweierkomplementformat dargestellt zu werden. Wenn wir mit zwei n-Bit-Werten beginnen und die Summe n+2 Bits einnimmt, erhalten wir einen Überlauf. Bei Computern ist Überlauf ein Problem, da die Anzahl der Bits, die eine Zahl enthalten, endlich ist und ein Ergebnis, das den endlichen Wert um eins überschreitet, nicht verarbeitet werden kann.
Überlauf vs. Endaustrag
Philosophisch gesehen sind Überlauf und Carry-out synonym. Beides impliziert, dass die Lösung nicht in den zugewiesenen Bereich passt. Wenn das höchstwertige Bit ausgeführt wird, wird ein Übertrag erzeugt. Wenn es einen Übertrag in das höchstwertige Bit gibt, tritt der Überlauf auf.
Es kann im Fall der vorzeichenlosen Zahlenarithmetik gesehen werden. Die Summe wird jedoch während der Ausführungsgenerierung nicht geändert. Die Carry-Flagge wurde gehisst. Der Inhalt des Registers, das das Ergebnis enthält, ergibt zusammen mit dem Übertrag die richtige Summe.
Überlauf tritt in der Situation der Arithmetik mit vorzeichenbehafteten Zahlen auf. Die Menge wird jedoch durch die Bildung von Überlauf beschädigt. Das Überlauf-Flag wird gesetzt, was anzeigt, dass das Ergebnis falsch ist.
Abschließend,
Die binäre Addition ist eine der Grundoperationen binärer Systeme. Wie wir bereits wissen, bezieht sich der Begriff „Binäroperation“ auf die grundlegenden mathematischen Operationen, die an zwei Operanden ausgeführt werden. Die binäre Addition wird durchgeführt, indem die Ziffern beginnend mit der rechten Seite der Zahlen addiert werden, genauso wie zwei oder mehr ganze Zahlen zur Basis 10 addiert werden.
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Bibliographie
