يتم إجراء الإضافة الثنائية عن طريق إضافة الأرقام بدءًا من الجانب الأيمن من الأرقام ، بنفس الطريقة التي تتم بها إضافة عددين صحيحين أساسيين أو أكثر. يتم إعطاء قيم الخانات في الجمع الثنائي كآحاد ، واثنين ، وأربعة ، وثمانية ، وستة عشر ، وهكذا. نبدأ بإضافة الأرقام الموجودة في عمود واحد ، ثم ننتقل إلى اليسار ، ونضيف الأرقام في العمود الثنائي ، ثم الأرقام في العمود الأربعة ، وهكذا. الاختلاف الوحيد هو أننا نعيد التجميع هنا عندما يتجاوز مجموع الأرقام 10. دعنا نتعلم المزيد عن القواعد التي توجه الجمع الثنائي ، بالإضافة إلى مفهوم الفائض ، في هذه المقالة.
ما هي عملية الجمع الثنائي؟
فيما عدا أنه نظام أساسي 2 ، فإن عملية الإضافة الثنائية تعمل بشكل مماثل للنظام العشري الأساسي 10. يتكون النظام الثنائي من رقمين فقط ، 1 و 0. ويستخدم لمعظم وظائف نظام الكمبيوتر. يستخدم الكود الثنائي الرقمين 1 و 0 للتبديل بين تشغيل وإيقاف عمليات محددة. بالتغيير إلى الأساس 2 ، فإن عملية الإضافة تشبه إلى حد بعيد النظام العشري.
قبل البدء في إجراء الإضافة الثنائية ، نفهم أولاً كيفية عمل المكان في نظام الأرقام الثنائية. لأن العملية الثنائية تتم بواسطة معظم أجهزة الكمبيوتر الرقمية الحالية والدوائر الإلكترونية عن طريق التعبير عن كل بت كإشارة جهد. تشير البتة 0 إلى حالة "إيقاف التشغيل" ، بينما تشير البتة 1 إلى حالة "التشغيل".
إحدى العمليات الحسابية على الأعداد الثنائية أو أنظمة الأرقام ذات الأساس 2 هي إضافة رقمين ثنائيين أو أكثر. عندما نضيف 3 + 2 في الجمع العشري ، نحصل على 5. وبالمثل ، فإن إضافة المكافئات الثنائية ، (11) 2 و (10) 2 ، ينتج عنها (11) 2 + (10) 2 = (101) 2 ، وهو 5 في القاعدة 10. نتائج الجمع الثنائي والعشري تعطي نفس الإجابة ؛ الاختلاف الوحيد في القيم المكانية للأرقام. سيبدو إجراء الإضافة الثنائية مألوفًا لك تمامًا ؛ الاختلاف الوحيد هو أنه في نظام الأرقام العشرية ، بمجرد أن نصل إلى مجموع الأرقام أكثر من 9 ، نعيد تجميع القيمة المكانية التالية لأن النظام العشري يستخدم عشرة أرقام من 0 إلى 9. ومع ذلك ، عند دمج الأرقام الثنائية ، نعيد التجميع القيمة المكانية التالية عندما يتجاوز مجموع الأرقام 1 لأن نظام الأرقام الثنائية يسمح فقط برقمين ، 0 و 1.
قواعد الجمع الثنائي
الجمع الثنائي أسهل بكثير من الجمع العشري عندما تتذكر الحيل أو القواعد التالية. باستخدام هذه القواعد ، يمكن إضافة أي رقم ثنائي بسهولة. القواعد الأربعة للإضافة الثنائية هي:
- 0 + = 0 0
- 0 + = 1 1
- 1 + = 0 1
- 1 + 1 = 10
كيف تفعل الجمع الثنائي؟
تستخدم الأرقام الثنائية ، التي تستخدم الأرقام 0 و 1 ، في أجهزة الكمبيوتر لتخزين البيانات وتمثيلها. تظهر حالتان أثناء تعلم الجمع الثنائي ، وهما كالتالي:
- الجمع الثنائي دون إعادة التجميع
- الجمع الثنائي مع إعادة التجميع
إضافة القيم الثنائية دون إعادة التجميع
عندما يكون مجموع رقمين 0 أو 1 ، لا نحتاج إلى إعادة التجميع عند إضافة قيمتين ثنائيتين أو أكثر. لنضيف (101) 2 و (10) 2 ، وهما المكافئ الثنائي 5 و 2 على التوالي.
خطوة 1 اكتب كل أرقام كلا الرقمين في أعمدة منفصلة وفقًا لقيم مكانها.
1 0 1
+ 1 0
----
----
خطوة 2 ابدأ من خانات العمود الموجودة في أقصى اليمين ، 1 و 0. طبق إحدى قواعد الجمع الثنائي التي تنص على 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1
----
خطوة 3 انتقل إلى العمود التالي إلى اليسار. هنا ، لدينا رقمان 0 و 1. انظر إلى القواعد المذكورة أعلاه واكتشف القاعدة التي سيتم تطبيقها هنا. قم بتطبيق إحدى قواعد الجمع الثنائي التي تنص على أن 0 + 1 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1
----
خطوة 4 الآن ، في العمود الأخير ، لدينا 1 فقط متبقي ، لذلك يمكننا تطبيق القاعدة ، 1 + 0 = 1.
1 0 1
+ 1 0
----
1 1 1
----
لذلك ، بإضافة (101) 2 مع (10) 2 ، نحصل على (111) 2 كإجابة نهائية.
الجمع الثنائي مع إعادة التجميع
عندما ينتج عن مجموع رقمين أو أكثر من رقمين ثنائيين أكثر من 0 أو 1 ، يلزم إعادة التجميع. لفهمها بشكل أفضل ، دعونا نضيف الأعداد الصحيحة الثنائية (1001) 2 و (111) 2.
الخطوة 1: اكتب كل الأرقام من كل من الأعداد الثنائية في عمود منفصل وفقًا لقيم مكانها كما هو موضح أدناه
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
الخطوة 2: بدءًا من العمود الموجود في أقصى اليمين ، أضف 1 و 1. اتبع قواعد الإضافة الثنائية التي تنص على 1 + 1 = 10. وهذا يعادل 2₁₀. ومن ثم ، سنكتب 0 في الأسفل واثنان نأخذ 1 على أنه ترحيل إلى القيمة المكانية التالية.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
الخطوة 3: انتقل إلى العمود التالي على اليسار. اتبع قواعد الجمع الثنائية التي تنص على أن 1 + 0 + 1 = 10. هذا يساوي 2₁₀ مرة أخرى. ومن ثم ، سنكتب 0 في الأسفل واثنان نأخذ 1 على أنه ترحيل إلى القيمة المكانية التالية.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
الخطوة 4: انتقل مرة أخرى إلى العمود التالي على اليسار. اتبع قواعد الجمع الثنائية التي تنص على أن 1 + 1 + 0 = 10. هذا يساوي 2₁₀ مرة أخرى.
1
1 0 0 1
+ 1 1 1
.............
0
الخطوة 5: انتقل مرة أخرى إلى العمود التالي على اليسار. اتبع قواعد الجمع الثنائية التي تنص على أن 1 + 1 + 0 = 10. هذا يساوي 2₁₀ مرة أخرى. نظرًا لأن هذا هو العمود الأخير على اليسار ، فلن نأخذ 1 على أنه مرحل ، وبدلاً من ذلك ، سنكتب 10 كنتيجة في الأسفل.
1 1 1
1 0 0 1
+ 1 1 1
................
1 0 0 0 0
................
لذلك ، \ [1001_ {2} + 111_ {2} = 10000_ {2} \]
جدول الجمع الثنائي
الجدول الخاص بإضافة رقمين ثنائيين 0 و 1 موضح أدناه:
| x | y | س + ص |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 (حيث يتم ترحيل 1) |
يمكنك أن ترى من هذا الجدول أن x و y هما الرقمان الثنائي. لذلك عندما نعطي المدخلات لـ x = 0 و y = 0 ، فإن الناتج يساوي 0. عندما تكون x = 0 أو 1 و y = 1 أو 0 ، فإن x + y = 1. ولكن عندما يكون كل من x و y يساوي 1 ، ثم جمعهم يساوي 0 ، لكن الرقم المرحل سيساوي 1 ، مما يعني أساسًا 1 + 1 = 10 في الجمع الثنائي ، حيث يتم نقل 1 إلى الرقم التالي.
أمثلة على الجمع الثنائي
بعض الأمثلة على الإضافات الثنائية هي كما يلي:
مثال 1: 10001 + 11101
حل:
1
1 0 0 0 1
(+) 1 1 1 0 1
--------
1 0 1 1 1 0
مثال 2: 10111 + 110001
حل:
1 1 1
1 0 1 1 1
(+) 1 1 0 0 0 1
--------
1 0 0 1 0 0 0
الجمع الثنائي باستخدام مكمل 1
- عدد 0 يمثل العلامة الإيجابية
- عدد 1 يمثل العلامة السلبية
إضافة عدد موجب وسالب
الحالة 1: عندما يكون للرقم الموجب مقدار أكبر
خذ مكمل الآحاد للرقم السالب ، ويضاف الخصم إلى المجموع الناتج في خانة الآحاد. عندما تضيف الحمل مع الناتج ، ستحصل على قيمة المجموع.
على سبيل المثال:
+ 1111 و -1101
+ 1 1 1 1 = 0 1 1 1 1
- 1 1 0 1 = 1 0 0 1 0 (مع الأخذ في الاعتبار 1)
-------
0 0 0 0 1
1
-------
0 0 0 1 0
إذن ، الحل هو + 0010.
- الحالة 2: عندما يكون للرقم السالب حجم أكبر
خذ مكمل 1 من الرقم السالب ، ولن يكون هناك حمل نهائي في هذه الحالة. أخيرًا ، يتم الحصول على المبلغ بأخذ مكمل 1 للنتيجة.
على سبيل المثال:
+ 1111 و -1101
- 1 1 1 1 = 1 0 0 0 0 (مع الأخذ في الاعتبار 1)
+1 1 0 1 = 0 1 1 0 1
------
1 1 1 0
------
1 0 0 1 0 (مع أخذ مكمل 1)
جمع عددين سالبين
خذ مكمل الآحاد لكل من الأعداد السالبة ثم اجمعها. ستظهر نهاية الحمل ، وستولد الرقم 1 في بت الإشارة. يمكن الحصول على قيمة المجموع بأخذ مكمل 1 للنتيجة.
على سبيل المثال:
- -1010 و- 0011
- 1 0 1 0 = 1 0 1 0 1 (مع الأخذ في الاعتبار 1)
- 0 0 1 1 = 1 1 1 0 0 (مع الأخذ في الاعتبار 1)
---------
1 0 0 0 1
1
----------
1 0 0 1 0
----------
1 1 1 0 1 (مع أخذ مكمل 1)
إذن الحل هو - 1101
تجاوز في الجمع الثنائي
يبدو أن الفائض في الإضافة الثنائية غالبًا هو جيل الحمل الأخير. من ناحية أخرى ، ينتج عن الفائض مبلغ غير دقيق ، بينما لا يحدث ذلك. إذا لم يتم فهمه بشكل صحيح ، فقد يكون هذا محيرًا بعض الشيء. لذا ، دعنا نتفهم جيدًا فكرة الفائض.
افترض أن لديك نصف كوب شاي ممتلئ. أحد معارفك لديه وعاء يحتوي على بعض الشاي. يريد أن يعرف مقدار الشاي الذي تتناوله أنت وهو بشكل إجمالي. نتيجة لذلك ، يسكب الشاي في فنجانك. ومع ذلك ، فإن الحجم الإجمالي للشاي أكبر من حجم فنجانك. عندما سكب صديقك الشاي في فنجانك ، بدأ المشروب في التسرب. الشيء المهم الذي يجب تذكره هنا هو أنه إذا صببت أكثر من سعة الحاوية ، فسوف تفيض. هذا مشابه لفكرة الفائض في الإضافة الثنائية.
لنأخذ مثالاً لفهم هذا.
وأوضح الفائض
في المثال السابق ، ننفذ عملية الجمع 120 + 62. يجب أن تكون الإجابة 182 ، كما هو موضح في الرسم البياني أعلاه. من ناحية أخرى ، لم ينتج عن الجمع الثنائي المجموع الصحيح. الآن ، على الرغم من إطاعتنا للقوانين الأساسية للحساب الثنائي ، فلنكتشف أين سارت الأمور بشكل خاطئ.
استخدمنا التمثيل التكميلي للأرقام 8 بت 2. يمكن التعبير عن كل رقم (120 ، 62) باستخدام 7 بتات حجم ، مع ترك بت واحد للإشارة ("0" لكليهما). ومع ذلك ، فإن حجم النتيجة (182 => 10110110) يتطلب 8 بت. نظرًا لأنه ترميز 2 بت مكمل لـ 8 ، فإن بت الإشارة هي بت 8 من الإجمالي. نظرًا لأن بت الإشارة في الإجمالي هو "1" ، فهو رقم سلبي. علاوة على ذلك ، فإن حجم المبلغ غير دقيق. المجموع المحسوب الآن -74 ، عندما تكون النتيجة الفعلية 182. ما سبب حدوث ذلك؟
حدث هذا لأن 182 خارج نطاق الأرقام الموقعة التي يمكن تمثيلها بـ 8 بتات ثنائية. يتطلب المجموع الناتج ، 182 ، 9 بتات ليتم تمثيلها بدقة في تنسيق 2 المكمل. عندما نبدأ بقيمتين n-bit ويأخذ المجموع n + 1 bits ، نحصل على تجاوز. في أجهزة الكمبيوتر ، يمثل تجاوز السعة مشكلة لأن عدد البتات التي تحتوي على رقم محدود ، ولا يمكن معالجة النتيجة التي تتجاوز القيمة المحددة بواحد.
تجاوز ضد Final Carryout
فلسفيًا ، الفائض والتنفيذ مترادفان. كلاهما يشير إلى أن الحل لا يتناسب مع المنطقة المخصصة. عندما يتم تنفيذ البت الأكثر أهمية ، يتم إنشاء التنفيذ. عندما يكون هناك حمل في أهم بت ، يحدث الفائض.
يمكن رؤيته في حالة حساب الأرقام غير الموقعة. ومع ذلك ، لا يتم تغيير المبلغ أثناء إنشاء التنفيذ. تم رفع علم الحمل. محتويات السجل الذي يحتوي على النتيجة ، جنبًا إلى جنب مع الكمبيالة ، ينتج عنها المبلغ المناسب.
يحدث الفائض في حالة حساب الأرقام الموقعة. ومع ذلك ، يتلف المبلغ نتيجة لتشكيل الفائض. تم تعيين علامة تجاوز السعة ، مما يشير إلى أن النتيجة خاطئة.
ختاما،
الإضافة الثنائية هي إحدى العمليات الأساسية للأنظمة الثنائية. كما نعلم بالفعل ، يشير مصطلح "العملية الثنائية" إلى العمليات الحسابية الأساسية التي يتم إجراؤها على معاملين. يتم إجراء الإضافة الثنائية عن طريق إضافة الأرقام بدءًا من الجانب الأيمن من الأرقام ، بنفس الطريقة التي تتم بها إضافة عددين صحيحين أساسيين أو أكثر.
مقالات ذات صلة
- التجارة الثنائية: كيف يعمل
- نظم إدارة المعرفة: دليل مفصل
- 15+ أفضل أرقام هواتف للأعمال في عام 2023
- الحرمان: التعريف ، وكيفية حسابه ، والأسباب.
- التسويق الإلكتروني: الدليل النهائي (محدث)
مراجع حسابات
